Uma empresa precisa produzir embalagens em forma cilíndrica, totalmente fechadas, que tenham volume de um decímetro cúbico. Desconsiderando possíveis dobras, quais as medidas, em centímetros, dessa embalagem de modo que se utilize a menor quantidade de material possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as medidas de uma embalagem cilíndrica totalmente fechada que tenha um volume de 1 decímetro cúbico (que equivale a 1000 centímetros cúbicos) e que use a menor quantidade de material possível. Vamos trabalhar com geometria, especificamente com cilindros, e usar conceitos de volume e área de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos precisar:
- Volume do cilindro: $ V = \pi r^2 h $
- Área de superfície do cilindro: $ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $
Onde:
- $ r $ é o raio da base do cilindro
- $ h $ é a altura do cilindro
Nosso objetivo é minimizar a área de superfície $ S $ dado que o volume $ V $ é fixo em 1000 cm³.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do volume para expressar a altura $ h $ em função do raio $ r $:
Como $ V = 1000 $ cm³, temos:
Isolando $ h $:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de $ h $ na fórmula da área de superfície:
Substituindo $ h $:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ r $ que minimiza $ S $, derivamos $ S $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
Resolvendo para $ r $:
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
Isolando $ r^3 $:
Então:
Passo 6
Calculando o valor de $ r $:
Passo 7
Agora, encontramos a altura $ h $ usando a expressão que obtivemos anteriormente:
Substituindo $ r \approx 5,42 $ cm:
Resposta
As dimensões ótimas para a embalagem são aproximadamente raio $ r = 5,42 $ cm e altura $ h = 10,83 $ cm, garantindo o menor uso de material para um volume de 1 decímetro cúbico.