Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula
.
Suponha que no espaço cartesiano o eixo
aponta para o leste e o eixo
para o norte. Se uma formiga sobre a superfície no ponto
caminha exatamente para a região nordeste, ela está subindo ou descendo? Justifique utilizando derivada direcional.
Suponha que no espaço cartesiano o eixo
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície representada pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A ideia é descobrir se, quando uma formiga se move para a região nordeste a partir do ponto
, ela está subindo ou descendo na superfície. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada direcional da função $ T(x, y) $ na direção nordeste no ponto dado. A derivada direcional nos diz como a função muda em uma direção específica. Se for positiva, a função está aumentando (subindo); se for negativa, está diminuindo (descendo).
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular essas derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos definir a direção nordeste. No sistema cartesiano, nordeste significa que tanto $ x $ quanto $ y $ estão aumentando igualmente. Portanto, o vetor de direção é $ \mathbf{v} = (1, 1) $.
Para usar na derivada direcional, precisamos que esse vetor seja um vetor unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Calculamos o comprimento de $ \mathbf{v} $:
Então, o vetor unitário na direção nordeste é:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada direcional multiplicando o gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
Como a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} T = \frac{1}{3\sqrt{2}} $ é positiva, isso significa que a formiga está subindo ao caminhar para a região nordeste.