Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula T(x, y)=4-x^28-y^212.
Suponha que no espaço cartesiano o eixo x aponta para o leste e o eixo y para o norte. Se uma formiga sobre a superfície no ponto [-2,1, T(-2,1)] caminha exatamente para a região nordeste, ela está subindo ou descendo? Justifique utilizando derivada direcional.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície representada pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A ideia é descobrir se, quando uma formiga se move para a região nordeste a partir do ponto T(x, y) = 4 - x^28 - y^212 , ela está subindo ou descendo na superfície. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada direcional da função $ T(x, y) $ na direção nordeste no ponto dado. A derivada direcional nos diz como a função muda em uma direção específica. Se for positiva, a função está aumentando (subindo); se for negativa, está diminuindo (descendo).

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular essas derivadas:
T(x, y)
T
Então, o gradiente é:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto [-2, 1]:
nabla T(-2, 1) = ( --24, -16 ) = ( 12, -16 )

Passo 5

Em seguida, precisamos definir a direção nordeste. No sistema cartesiano, nordeste significa que tanto $ x $ quanto $ y $ estão aumentando igualmente. Portanto, o vetor de direção é $ \mathbf{v} = (1, 1) $.
Para usar na derivada direcional, precisamos que esse vetor seja um vetor unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Calculamos o comprimento de $ \mathbf{v} $:
x
Então, o vetor unitário na direção nordeste é:
y

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional multiplicando o gradiente pelo vetor unitário:
Du T = nabla T cdot u = ( 12 ) ( 1raiz2 ) + ( -16 ) ( 1raiz2 ) = 12raiz2 - 16raiz2 = 3 - 16raiz2 = 26raiz2 = 13raiz2

Resposta

Como a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} T = \frac{1}{3\sqrt{2}} $ é positiva, isso significa que a formiga está subindo ao caminhar para a região nordeste.

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