Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula
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Calcule a inclinação da reta tangente ao ponto
na direção do vetor de ângulo igual a
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Calcule a inclinação da reta tangente ao ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície definida pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A gente precisa encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
na direção de um vetor que forma um ângulo de $ \frac{2\pi}{3} $ radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o derivado direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ T $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $ é:
Então, o gradiente $ \nabla T $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor na direção de $ \frac{2\pi}{3} $ radianos. Para isso, vamos usar as coordenadas polares para encontrar o vetor unitário nessa direção.
As componentes do vetor unitário $ \mathbf{u} $ são:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o derivado direcional, que é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Resposta
A inclinação da reta tangente no ponto
na direção de um vetor com ângulo $ \frac{2\pi}{3} $ é $ -\frac{3 + \sqrt{3}}{12} $.