Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula T(x, y)=4-x^28-y^212.
Calcule a inclinação da reta tangente ao ponto [-2,1, T(-2,1)] na direção do vetor de ângulo igual a 2 pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície definida pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A gente precisa encontrar a inclinação da reta tangente no ponto T(x, y) = 4 - x^28 - y^212 na direção de um vetor que forma um ângulo de $ \frac{2\pi}{3} $ radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o derivado direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ T $ em relação a $ x $ é:
T(x, y)
E a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $ é:
x
Então, o gradiente $ \nabla T $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (-2, 1):
nabla T(-2, 1) = ( --24, -16 ) = ( 24, -16 ) = ( 12, -16 )

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o vetor na direção de $ \frac{2\pi}{3} $ radianos. Para isso, vamos usar as coordenadas polares para encontrar o vetor unitário nessa direção.
As componentes do vetor unitário $ \mathbf{u} $ são:
2pi3
u
Então,
ux = cos(2pi3) = -12

Passo 5

Agora, vamos calcular o derivado direcional, que é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Du T = nabla T(-2, 1) cdot u = ( 12, -16 ) cdot ( -12, raiz32 )
Du T = ( 12 times -12 ) + ( -16 times raiz32 ) = -14 - raiz312 = -312 - raiz312 = -3 + raiz312

Resposta

A inclinação da reta tangente no ponto [-2, 1, T(-2,1)] na direção de um vetor com ângulo $ \frac{2\pi}{3} $ é $ -\frac{3 + \sqrt{3}}{12} $.

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