13-22 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
z^2-4 x^2-y^2=4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a superfície definida por z^2 - 4x^2 - y^2 = 4. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos usar cortes em planos paralelos aos planos coordenados para esboçar e identificar a forma.

Passo 2

Para o corte z = k, substituímos na equação e obtemos 4x^2 + y^2 = k^2 - 4. Se |k| > 2, a seção é uma elipse centrada na origem do plano (x,y); se |k| < 2, não há interseção, e em k=pm2 a elipse degenera em um ponto.

Passo 3

Para o corte x = k, substituímos e obtemos z^2 - y^2 = 4 + 4k^2, que é uma hipérbole centrada na origem do plano (y,z) com ramos ao longo de z. De modo análogo, em y = k temos z^2 - 4x^2 = 4 + k^2, também uma hipérbole com ramos ao longo de z.

Passo 4

Com base nesses cortes, vemos que não existem pontos para -2 < z < 2 e que para z >= 2 e z <= -2 formam-se elipses, separando a superfície em duas “folhas”. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de z.

Resposta

É um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo z, cujas seções z=k são elipses para |k|>2 e inexistentes para |k|<2.

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