Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula T(x, y)=4-x^28-y^212.
Suponha que você coloca uma bolinha na superfície no ponto [-2,1, T(-2,1)] e ela cai na direção e sentido de maior declínio da superfície. Determine um versor de mesma direção e sentido em que a bolinha cai.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma superfície definida pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A gente coloca uma bolinha em um ponto específico dessa superfície, no ponto T(x, y) = 4 - x^28 - y^212 , e essa bolinha vai rolar na direção de maior declínio da superfície. Nossa missão é encontrar um versor, que é basicamente um vetor com comprimento 1, que aponta exatamente na direção em que a bolinha vai rolar.
Matéria necessária: Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente de uma função e como ele indica a direção de máximo aumento ou declínio em uma superfície. Também vamos usar conceitos de vetores e como normalizar um vetor para transformá-lo em um versor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ T(-2, 1) $ para saber exatamente onde está a bolinha. Substituindo na função:
T(-2, 1)
Então, o ponto onde a bolinha está é T(-2, 1) = 4 - (-2)^28 - 1^212 = 4 - 48 - 112 = 4 - 0,5 - 0,0833 approx 3,4167 .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é calculado pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a $ x $ e $ y $:
T(x, y)
Vamos calcular essas derivadas:
T
x
Então,
y

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto (-2, 1):
nabla T(-2, 1) = ( --24, -16 ) = ( 24, -16 ) = ( 0,5, -0,1667 )
Esse vetor (0,5, -0,1667) aponta na direção de maior aumento da função $ T $. Mas a bolinha vai na direção de maior declínio, que é exatamente o contrário desse vetor.

Passo 5

Então, a direção de maior declínio é o vetor negativo do gradiente:
Direção de declínio = -nabla T(-2, 1) = (-0,5, 0,1667) çãí
Agora, precisamos transformar esse vetor em um versor, ou seja, um vetor com comprimento 1 que aponta na mesma direção.

Passo 6

Para normalizar o vetor, vamos calcular o seu comprimento (módulo):
| v | = raiz(-0,5)^2 + (0,1667)^2 = raiz0,25 + 0,0278 = raiz0,2778 approx 0,5270
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Versor = ( -0,50,5270, 0,16670,5270 ) approx (-0,949, 0,317)

Resposta

Um versor na direção e sentido em que a bolinha cai é aproximadamente (-0,949, 0,317).

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