Seja uma superfície cuja forma é modelada pela função real de fórmula
.
Suponha que você coloca uma bolinha na superfície no ponto
e ela cai na direção e sentido de maior declínio da superfície. Determine um versor de mesma direção e sentido em que a bolinha cai.
Suponha que você coloca uma bolinha na superfície no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma superfície definida pela função $ T(x, y) = 4 - \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} $. A gente coloca uma bolinha em um ponto específico dessa superfície, no ponto
, e essa bolinha vai rolar na direção de maior declínio da superfície. Nossa missão é encontrar um versor, que é basicamente um vetor com comprimento 1, que aponta exatamente na direção em que a bolinha vai rolar.
Matéria necessária: Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente de uma função e como ele indica a direção de máximo aumento ou declínio em uma superfície. Também vamos usar conceitos de vetores e como normalizar um vetor para transformá-lo em um versor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ T(-2, 1) $ para saber exatamente onde está a bolinha. Substituindo na função:
Então, o ponto onde a bolinha está é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é calculado pelas derivadas parciais de $ T $ em relação a $ x $ e $ y $:
Vamos calcular essas derivadas:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
aponta na direção de maior aumento da função $ T $. Mas a bolinha vai na direção de maior declínio, que é exatamente o contrário desse vetor.
Passo 5
Então, a direção de maior declínio é o vetor negativo do gradiente:
Agora, precisamos transformar esse vetor em um versor, ou seja, um vetor com comprimento 1 que aponta na mesma direção.
Passo 6
Para normalizar o vetor, vamos calcular o seu comprimento (módulo):
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Resposta
Um versor na direção e sentido em que a bolinha cai é aproximadamente
.