[13.3] [b] Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. ( kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|)
[19] r(t)=lang<=raiz2 t, e^t, e^-trang<=

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a curvatura da curva r(t)=lang<=raiz2,t,,e^t,,e^-trang<= usando a Fórmula 9: kappa(t)=dfraclvert T'(t)rvertlvert r'(t)rvert. Vamos precisar derivar r(t), achar a norma, montar o vetor tangente unitário T(t), derivá-lo e enfim aplicar a fórmula.

Passo 2

Derivando r(t) obtemos
r'(t)=llang<=raiz2,,e^t,,-e^-trrang<=
e sua norma é
lvert r'(t)rvert=raiz(raiz2)^2+e^2t+e^-2t=raiz2+e^2t+e^-2t=2cosh t

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t)= r'(t)lvert r'(t)rvert =llang<=raiz22cosh t,,e^t2cosh t,,-e^-t2cosh trrang<=

Passo 4

Agora derivamos T(t):
T'(t)=llang<= -raiz2sinh t2cosh^2 t,,12cosh^2 t,,12cosh^2 trrang<=

Passo 5

A norma de T'(t)
lvert T'(t)rvert=raizsinh^2 t2cosh^4 t+14cosh^4 t+14cosh^4 t=1raiz2,cosh t

Passo 6

Finalmente aplicamos a fórmula
kappa(t)=lvert T'(t)rvertlvert r'(t)rvert =1/(raiz2cosh t)2cosh t =12raiz2,cosh^2 t

Resposta

kappa(t)=12raiz2,cosh^2 t

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