Utilize o T.V.I. para mostrar que:
o polinômio p(x)=x^4-3 x^3+4 tem alguma raiz real no intervalo [1,2];

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.) e mostrar que o polinômio p(x)=x^4-3x^3+4 tem alguma raiz real no intervalo [1,2]. O conteúdo é análise de função contínua e aplicação do teorema. Para resolver vamos precisar: (i) saber que polinômios são funções contínuas e (ii) calcular p(1) e p(2) para verificar mudança de sinal.

Passo 2

Polinômios são funções contínuas em todo R. O Teorema do Valor Intermediário diz que, se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Assim, podemos aplicar o TVI a p(x) em [1,2].

Passo 3

Vamos calcular as imagens nos extremos do intervalo. Em x=1:
p(1)=1^4-3cdot1^3+4=1-3+4=2>0
Em x=2:
p(2)=2^4-3cdot2^3+4=16-24+4=-4<0

Passo 4

Como p(1)>0 e p(2)<0, existe mudança de sinal em [1,2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um xiin(1,2) tal que p(xi)=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real xiin(1,2) tal que p(xi)=0.

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