Nos exercícios de 8 a 14, obter uma equação cartesiana para a superfície dada. Representá-la graficamente.
r(u, v)=u i+u^2 j+v k,-2 <= u <= 2,0 <= v <= 4

Passo 1

Neste exercício, temos uma superfície parametrizada por vec r(u,v)=u,vec i+u^2,vec j+v,vec k com -2 <= u <= 2 e 0 <= v <= 4. O assunto é superfícies paramétricas e precisamos obter sua equação cartesiana eliminando os parâmetros e depois representá-la graficamente.

Passo 2

Das componentes de vec r, extraímos as coordenadas: x = u, y = u^2 e z = v.

Passo 3

Para eliminar u, como u = x, substituímos em y = u^2 e obtemos
y = x^2

Passo 4

Para eliminar v, note que z = v e, como v varia entre 0 e 4, temos 0 <= z <= 4. Além disso, a condição -2 <= u <= 2 vira -2 <= x <= 2.

Passo 5

A equação cartesiana da superfície é y = x^2 com -2<= x<= 2 e 0<= z<=4. Graficamente, isso corresponde a um cilindro parabólico — a parábola y=x^2 no plano xy extrudada ao longo do eixo z, mas limitada entre z=0 e z=4.

Resposta

Equação cartesiana: y = x^2, com -2 \le x \le 2 e 0 \le z \le 4.

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