[13.2:41] Encontre r(t) se r^prime(t)=3 t^2 i-8 t j+8 t^3 k e r(1)=3 i+7 j.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar r(t) sabendo sua derivada r'(t)=3t^2i-8tj+8t^3k e a condição inicial r(1)=3i+7j. O conteúdo é integração de funções vetoriais, então vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo componente a componente.

Passo 2

Para integrar cada componente, a gente supõe r(t)=(x(t),y(t),z(t)) e faz:
x'(t)=3t^2implies x(t)=integral3t^2,dt=t^3+C1,
y'(t)=-8timplies y(t)=integral-8t,dt=-4t^2+C2,
z'(t)=8t^3implies z(t)=integral8t^3,dt=2t^4+C3

Passo 3

Agora, usamos a condição r(1)=3i+7j, que dá:
x(1)=1^3+C1=3implies C1=2,
y(1)=-4cdot1^2+C2=7implies C2=11,
z(1)=2cdot1^4+C3=0implies C3=-2

Passo 4

Substituindo C1,C2,C3 na expressão geral, obtemos a solução completa:
r(t)=(t^3+2),i+(-4t^2+11),j+(2t^4-2),k

Resposta

r(t)=(t^3+2)i+(-4t^2+11)j+(2t^4-2)k

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