13.31. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm , o diâmetro de cada haste que suportará uma carga de 4,5 \mathrm{kN}. Considere que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos. Use fator de segurança \mathrm{FS}=1,8 para flambagem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os diâmetros das duas hastes:
  • Carga pendurada: 4,5\\ \text{kN}.
  • As duas hastes são de aço A-36 e têm seção transversal circular; as extremidades são articuladas por pinos (condição biapoiada/pino-pino).
  • Geometria (retirada da figura):
    • distância horizontal do ponto de suspensão vertical até o apoio A: 4,8\\ \text{m},
    • distância horizontal do ponto de suspensão vertical até o apoio C: 2,7\\ \text{m},
    • altura vertical dos apoios até o ponto B: 3,6\\ \text{m}.
  • Fator de segurança para flambagem: \mathrm{FS}=1,8.
    O que se pede: determinar, com aproximação em múltiplos de 5\\ \text{mm}, o diâmetro de cada haste que suporte a carga dada, considerando flambagem (Euler).

Passo 2

Calcular comprimentos e ângulos das hastes a partir das dimensões extraídas da imagem.
  • Haste AB (esquerda): comprimento
L_1=\sqrt{(4,8)^2+(3,6)^2}=\sqrt{23,04+12,96}=\sqrt{36}=6,0\\ \text{m}.
  • Haste CB (direita): comprimento
L_2=\sqrt{(2,7)^2+(3,6)^2}=\sqrt{7,29+12,96}=\sqrt{20,25}=4,5\\ \text{m}.
  • Ângulos em relação à horizontal (úteis para equilibrar forças em B):
\theta_1=\arctan\!\left(\frac{3,6}{4,8}\right)=\arctan(0,75)=36,87^\circ, \qquad \theta_2=\arctan\!\left(\frac{3,6}{2,7}\right)=\arctan\left(\tfrac{4}{3}\right)=53,13^\circ.
Observação numérica conveniente (triângulo 3-4-5):
\sin\theta_1=0,6,\\ \cos\theta_1=0,8;\qquad \sin\theta_2=0,8,\\ \cos\theta_2=0,6.

Passo 3

Determinar as forças axiais de compressão nas duas hastes por equilíbrio no nó B\). Chamando \(F_1\) a força na haste \(AB\) e \(F_2\) a força na haste \(CB\), as equações de equilíbrio em \(B\) (somatório de forças horizontais e verticais nulas) são: \[\begin{cases} F_1\cos\theta_1 - F_2\cos\theta_2 = 0 &\text{(horiz.)},\\[4pt] F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2 = 4,5\\ \text{kN} &\text{(vert.)}. \end{cases}
Da primeira, F_2 = F_1\frac{\cos\theta_1}{\cos\theta_2}\]. Usando os senos/ cossenos numéricos: \[F_2 = F_1\frac{0,8}{0,6}=\tfrac{4}{3}F_1.\] Substituindo na equação vertical: \[F_1(0,6) + \tfrac{4}{3}F_1(0,8)=4,5\\ \text{kN}.\] Calcular o coeficiente: \[0,6 + \tfrac{4}{3}\cdot0,8 = 0,6 + 1,066\bar{6} = 1,666\bar{6}=\tfrac{5}{3}.\] Logo \[F_1=\frac{4,5}{5/3}=4,5\cdot\frac{3}{5}=2,7\\ \text{kN}.\] E \[F_2=\tfrac{4}{3}F_1=\tfrac{4}{3}\cdot2,7=3,6\\ \text{kN}.\] Interpretação: as hastes trabalham à compressão com \(F_1=2,7\\ \text{kN} (haste AB, L_1=6,0\\ \text{m}) e F_2=3,6\\ \text{kN} (haste CB, L_2=4,5\\ \text{m}).]

Passo 4

Critério de projeto para flambagem (Euler) com extremidades articuladas (pino-pino): carga crítica
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L^2},
onde E é o módulo de Young do aço A-36 (usar E=200\\ \text{GPa}=200\times10^9\\ \text{Pa}) e I é o momento de inércia para seção circular:
I=\frac{\pi d^4}{64}.
Substituindo:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E}{L^2}\cdot\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi^3 E d^4}{64 L^2}.
Para garantir a segurança contra flambagem usa-se o fator \mathrm{FS}; o valor requerido de P_{cr} é pelo menos \mathrm{FS} vezes a força real:
P_{cr,\text{req}}=\mathrm{FS}\cdot F.
Isolando d:
d^4=\frac{64 L^2 (\mathrm{FS}\cdot F)}{\pi^3 E}, \qquad d=\left(\frac{64 L^2 \mathrm{FS}\,F}{\pi^3 E}\right)^{1/4}.
Neste ponto explicar o que cada símbolo significa:
  • d: diâmetro da seção circular (m),
  • L: comprimento da haste (m),
  • \mathrm{FS}: fator de segurança adimensional,
  • F: força axial real (N),
  • E: módulo de Young (Pa).

Passo 5

Calcular d para a haste AB ( L_1=6,0\\ \text{m}, F_1=2,7\\ \text{kN}=2700\\ \text{N}, \mathrm{FS}=1,8):
d^4=\frac{64\cdot(6,0)^2\cdot(1,8)(2700)}{\pi^3(200\times10^9)}.
Fazendo as contas (passo a passo):
64\cdot(6,0)^2=64\cdot36=2304,
2304\cdot(1,8)\cdot2700 =2304\cdot4860=11\,197\,440.
\pi^3(200\times10^9)\approx31,0063\cdot200\times10^9=6,2012553\times10^{12}.
d^4=\frac{11\,197\,440}{6,2012553\times10^{12}}\approx1,806\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
d=(1,806\times10^{-6})^{1/4}\approx0,03665\\ \text{m}=36,65\\ \text{mm}.
Arredondando para múltiplos de 5\\ \text{mm} e garantindo segurança (diâmetro de projeto \ge valor calculado), escolhe-se d_1=40\\ \text{mm}.

Passo 6

Calcular d para a haste CB ( L_2=4,5\\ \text{m}, F_2=3,6\\ \text{kN}=3600\\ \text{N}):
d^4=\frac{64\cdot(4,5)^2\cdot(1,8)(3600)}{\pi^3(200\times10^9)}.
Cálculos:
64\cdot(4,5)^2=64\cdot20,25=1296,
1296\cdot(1,8)\cdot3600=1296\cdot6480=8\,398\,080.
d^4=\frac{8\,398\,080}{6,2012553\times10^{12}}\approx1,354\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
d=(1,354\times10^{-6})^{1/4}\approx0,03411\\ \text{m}=34,11\\ \text{mm}.
Arredondando para múltiplos de 5\\ \text{mm} e garantindo segurança, escolhe-se d_2=35\\ \text{mm}.

Passo 7

Verificação rápida da condição de flambagem (esbelteza) e checagem do P_{cr} com os diâmetros escolhidos:
  • Para seção circular vale o raio de giração r=\sqrt{I/A}=d/4. Então razão de esbelteza L/r=4L/d, que aqui é grande (> ~500), mostrando colunas realmente esbeltas e que o critério de Euler é adequado.
  • Cálculo aproximado de P_{cr} com os diâmetros escolhidos dá valores maiores que \mathrm{FS}\cdot F, confirmando segurança (ex.: para d_1=40\\ \text{mm}, P_{cr}\approx6{,}9\\ \text{kN}>\mathrm{FS}\cdot F_1=4{,}86\\ \text{kN}; para d_2=35\\ \text{mm}, P_{cr}\approx7{,}18\\ \text{kN}>\mathrm{FS}\cdot F_2=6{,}48\\ \text{kN}).

Resposta

Haste AB: 40\\ \text{mm}
Haste CB: 35\\ \text{mm}

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