1. [ 2 pontos] A viga de madeira de 6^{\prime \prime} \times 12^{\prime \prime} é reforçada aparafusando uma lâmina de aço com 5^{\prime \prime} e \frac{1}{2}^{\prime \prime} de espessura. O módulo de elasticidade da madeira é 2.10^{6} psi e do aço é 29.10^{6} psi. Sabendo que a viga é fletida pelo eixo horizontal por um momento \mathrm{M}=450.000 \mathrm{lbf} . \mathrm{in}, determine as máximas tensões absolutas na madeira e no aço.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as máximas tensões absolutas na madeira e no aço de uma viga composta submetida a um momento de flexão M. Informações dadas (peguei estes valores do enunciado e da imagem):
  • Dimensões da madeira: largura b_w = 6\\ \text{in} e altura h_w = 12\\ \text{in}.
  • Lâmina de aço presa na face inferior: largura b_s = 5\\ \text{in} e espessura t_s = \tfrac{1}{2}\\ \text{in} = 0,5\\ \text{in}.
  • Módulos de elasticidade: E_w = 2\cdot 10^{6}\\ \text{psi} (madeira) e E_s = 29\cdot 10^{6}\\ \text{psi} (aço).
  • Momento fletor aplicado: M = 450\,000\\ \text{lbf}\cdot\text{in}.
O que o problema pede:
  • A máxima tensão absoluta na madeira (valor numérico em psi).
  • A máxima tensão absoluta no aço (valor numérico em psi).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo e com fundamentos didáticos). Vou usar o método da seção transformada (transformar o aço em área equivalente de madeira) porque isso permite usar a fórmula de flexão linear \sigma = -\dfrac{M\,y}{I} com um só eixo neutro. Conceitos e fórmulas essenciais:
  • Razão modular (modular ratio): \displaystyle n=\frac{E_s}{E_w}. Essa razão diz quantas vezes o aço é mais rígido que a madeira; ao transformar, multiplica-se a área do aço por n para obter uma área “equivalente de madeira”.
  • Área retangular: \displaystyle A = b\cdot h.
  • Centroide de um conjunto de áreas (referido a um eixo horizontal): \displaystyle \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}, onde y_i é a coordenada do centroide de cada área.
  • Momento de inércia de um retângulo sobre seu próprio centro: \displaystyle I_c=\frac{b h^3}{12}.
  • Teorema dos eixos paralelos (para deslocar I_c até o eixo neutro): \displaystyle I = I_c + A d^2, onde d é a distância entre os centros.
  • Fórmula de flexão (com referência à madeira após transformar): \displaystyle \sigma_{\text{madeira}}=-\frac{M\,y}{I_{\text{transf}}}. Para o aço real, \displaystyle \sigma_{\text{aço}}=\frac{E_s}{E_w}\,\sigma_{\text{transf\_no\_mesmo\_y}}=n\cdot\left(-\frac{M\,y}{I_{\text{transf}}}\right)ç.
Agora aplico essas fórmulas aos dados numéricos.

Passo 3

Calcular n e as áreas e posições dos centroides (escolho a origem y=0 na face inferior externa da lâmina de aço — ou seja, na borda inferior do conjunto).
  • Modular ratio:
n=\frac{E_s}{E_w}=\frac{29\cdot 10^{6}}{2\cdot 10^{6}}=14{,}5.
  • Áreas:
A_w = b_w\cdot h_w = 6\cdot 12 = 72\\ \text{in}^2.
A_s = b_s\cdot t_s = 5\cdot 0{,}5 = 2{,}5\\ \text{in}^2.
  • Coordenadas dos centroides (medidas a partir da face inferior do conjunto):
    • A lâmina de aço está entre y=0 e y=0{,}5; seu centróide:
    y_s = \frac{0{,}5}{2}=0{,}25\\ \text{in}.
    • O bloco de madeira começa em y=0{,}5 e vai até y=12{,}5; seu centróide:
    y_w = 0{,}5 + \frac{12}{2} = 0{,}5 + 6 = 6{,}5\\ \text{in}.
  • Área equivalente do aço em termos de madeira:
A_s' = n\cdot A_s = 14{,}5 \cdot 2{,}5 = 36{,}25\\ \text{in}^2.
  • Centroide da seção transformada (referido à base y=0):
\bar{y}=\frac{A_w y_w + A_s' y_s}{A_w + A_s'} = \frac{72\cdot 6{,}5 + 36{,}25\cdot 0{,}25}{72 + 36{,}25}.
Calculemos numericamente:
72\cdot 6{,}5 = 468,\qquad 36{,}25\cdot 0{,}25 = 9{,}0625,
\bar{y}=\frac{468 + 9{,}0625}{108{,}25}=\frac{477{,}0625}{108{,}25}=4{,}407\\ \text{in} \\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular o momento de inércia da seção transformada I_{\text{transf}} em relação ao eixo neutro (horizontal que passa por \bar{y}). Vou somar o momento de inércia da madeira (em torno de seu próprio centro mais a correção pelo teorema dos eixos paralelos) e o do aço transformado (idem).
  • Momento de inércia da madeira em seu próprio centro:
I_{w,c}=\frac{b_w h_w^3}{12}=\frac{6\cdot 12^3}{12}=864\\ \text{in}^4.
  • Distância do centróide da madeira ao neutro:
d_w = y_w - \bar{y}=6{,}5 - 4{,}407 = 2{,}093\\ \text{in}.
  • Contribuição da madeira pelo teorema dos eixos paralelos:
I_w = I_{w,c} + A_w d_w^2 = 864 + 72\cdot (2{,}093)^2.
Calculemos (2{,}093)^2 \approx 4{,}3817, então
72\cdot 4{,}3817 \approx 315{,}48,
I_w \approx 864 + 315{,}48 = 1\,179{,}48\\ \text{in}^4.
  • Momento de inércia da lâmina de aço em torno de seu centro (retângulo):
I_{s,c}=\frac{b_s t_s^3}{12}=\frac{5\cdot (0{,}5)^3}{12}=\frac{5\cdot 0{,}125}{12}=0{,}0520833\\ \text{in}^4.
  • Transformando este I para equivalente de madeira (multiplica-se por n):
I_{s,c}'=n\cdot I_{s,c}=14{,}5\cdot 0{,}0520833\approx 0{,}75521\\ \text{in}^4.
  • Distância do centróide da lâmina ao neutro:
d_s = \bar{y} - y_s = 4{,}407 - 0{,}25 = 4{,}157\\ \text{in}.
  • Contribuição da lâmina transformada pelo teorema dos eixos paralelos:
I_s' = I_{s,c}' + A_s'\,d_s^2 \approx 0{,}75521 + 36{,}25\cdot (4{,}157)^2.
Calculemos (4{,}157)^2 \approx 17{,}287, então
36{,}25\cdot 17{,}287 \approx 626{,}66,
I_s' \approx 0{,}75521 + 626{,}66 = 627{,}415\\ \text{in}^4.
  • Somando as contribuições:
I_{\text{transf}} = I_w + I_s' \approx 1\,179{,}48 + 627{,}415 = 1\,806{,}895\\ \text{in}^4.
(Arredondei para I_{\text{transf}}\approx 1\,806{,}9\\ \text{in}^4.)

Passo 5

Determinar as distâncias dos fios extremos ao neutro (esses são os y que entram na fórmula da flexão) e calcular as tensões:
  • Altura total do conjunto (desde a base inferior da lâmina até o topo da madeira):
H = t_s + h_w = 0{,}5 + 12 = 12{,}5\\ \text{in}.
  • Distância do neutro até o topo da seção (fibra superior, ponto extremo da madeira):
y_{\text{top}} = H - \bar{y} = 12{,}5 - 4{,}407 = 8{,}093\\ \text{in}.
  • Distância do neutro até a fibra mais baixa (base inferior da lâmina de aço):
y_{\text{bot}} = \bar{y} - 0 = 4{,}407\\ \text{in}.
Agora aplicar a fórmula de flexão na forma adequada.
  • Tensão máxima na madeira (fibra superior da madeira é a mais solicitada na madeira):
    A tensão na madeira, usando o sistema transformado (referência madeira), é
\sigma_{\text{madeira, max}} = \left|\frac{M\,y_{\text{top}}}{I_{\text{transf}}}\right|.
Substituindo:
\sigma_{\text{madeira, max}} = \frac{450\,000\cdot 8{,}093}{1\,806{,}895}\approx 2\,016\\ \text{psi}\\ \text{(aprox.)}.
  • Tensão máxima no aço: primeiro calcula-se a tensão transformada no mesmo y (se desejado), depois multiplica-se por n para obter a tensão real no aço:
\sigma_{\text{aço, max}} = n\cdot\left|\frac{M\,y_{\text{bot}}}{I_{\text{transf}}}\right| = 14{,}5\cdot \frac{450\,000\cdot 4{,}407}{1\,806{,}895}.ç
Calculando numericamente:
\frac{450\,000\cdot 4{,}407}{1\,806{,}895}\approx 1\,097{,}9\\ \text{psi (transformado)},
\sigma_{\text{aço, max}} \approx 14{,}5\cdot 1\,097{,}9 \approx 15\,920\\ \text{psi}\\ \text{(aprox.)}.ç
Observação sobre sinais: os valores acima são magnitudes (tensões absolutas). O sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado; o enunciado pediu as máximas tensões absolutas, por isso reportei as magnitudes.

Resposta

Madeira: 2016\\ \text{psi}
Aço: 15\,920\\ \text{psi}

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