[ 2 pontos] A viga de madeira de 6^{\prime \prime} \times 12^{\prime \prime} é reforçada aparafusando uma lâmina de aço com 5^{\prime \prime} e \frac{1}{2}^{\prime \prime} de espessura. O módulo de elasticidade da madeira é 2.10^{6} psi e do aço é 29.10^{6} psi. Sabendo que a viga é fletida pelo eixo horizontal por um momento \mathrm{M}=450.000 \mathrm{lbf} . \mathrm{in}, determine as máximas tensões absolutas na madeira e no aço.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as máximas tensões absolutas na madeira e no aço de uma viga composta submetida a um momento de flexão M. Informações dadas (peguei estes valores do enunciado e da imagem):
Dimensões da madeira: largura b_w = 6\\ \text{in} e altura h_w = 12\\ \text{in}.
Lâmina de aço presa na face inferior: largura b_s = 5\\ \text{in} e espessura t_s = \tfrac{1}{2}\\ \text{in} = 0,5\\ \text{in}.
Módulos de elasticidade: E_w = 2\cdot 10^{6}\\ \text{psi} (madeira) e E_s = 29\cdot 10^{6}\\ \text{psi} (aço).
Momento fletor aplicado: M = 450\,000\\ \text{lbf}\cdot\text{in}.
O que o problema pede:
A máxima tensão absoluta na madeira (valor numérico em psi).
A máxima tensão absoluta no aço (valor numérico em psi).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo e com fundamentos didáticos). Vou usar o método da seção transformada (transformar o aço em área equivalente de madeira) porque isso permite usar a fórmula de flexão linear \sigma = -\dfrac{M\,y}{I} com um só eixo neutro. Conceitos e fórmulas essenciais:
Razão modular (modular ratio): \displaystyle n=\frac{E_s}{E_w}. Essa razão diz quantas vezes o aço é mais rígido que a madeira; ao transformar, multiplica-se a área do aço por n para obter uma área “equivalente de madeira”.
Área retangular: \displaystyle A = b\cdot h.
Centroide de um conjunto de áreas (referido a um eixo horizontal): \displaystyle \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}, onde y_i é a coordenada do centroide de cada área.
Momento de inércia de um retângulo sobre seu próprio centro: \displaystyle I_c=\frac{b h^3}{12}.
Teorema dos eixos paralelos (para deslocar I_c até o eixo neutro): \displaystyle I = I_c + A d^2, onde d é a distância entre os centros.
Fórmula de flexão (com referência à madeira após transformar): \displaystyle \sigma_{\text{madeira}}=-\frac{M\,y}{I_{\text{transf}}}. Para o aço real, \displaystyle \sigma_{\text{aço}}=\frac{E_s}{E_w}\,\sigma_{\text{transf\_no\_mesmo\_y}}=n\cdot\left(-\frac{M\,y}{I_{\text{transf}}}\right).
Agora aplico essas fórmulas aos dados numéricos.
Passo 3
Calcular n e as áreas e posições dos centroides (escolho a origem y=0 na face inferior externa da lâmina de aço — ou seja, na borda inferior do conjunto).
Calcular o momento de inércia da seção transformada I_{\text{transf}} em relação ao eixo neutro (horizontal que passa por \bar{y}). Vou somar o momento de inércia da madeira (em torno de seu próprio centro mais a correção pelo teorema dos eixos paralelos) e o do aço transformado (idem).
Momento de inércia da madeira em seu próprio centro:
Agora aplicar a fórmula de flexão na forma adequada.
Tensão máxima na madeira (fibra superior da madeira é a mais solicitada na madeira):
A tensão na madeira, usando o sistema transformado (referência madeira), é
Observação sobre sinais: os valores acima são magnitudes (tensões absolutas). O sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado; o enunciado pediu as máximas tensões absolutas, por isso reportei as magnitudes.