- [ 2 pontos] Determine o diâmetro admissível para uma barra de 3 m de comprimento (
) se a barra deve ser torcida em
sem exceder a tensão cisalhante admissível de 80 Mpa .
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei os dados exatamente como foram fornecidos):
- Comprimento da barra:
. - Módulo de cisalhamento:
. - A barra deve ser torcida em
. - Tensão cisalhante admissível:
.
O que se pede:
- Determinar o diâmetro admissível
da barra (assume-se eixo circular maciço) de modo que, quando aplicada a torção que produz o ângulo de torção pedido, a tensão cisalhante não exceda .
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (explicadas passo a passo):
- Para uma barra circular maciça submetida a um torque
, a tensão cisalhante máxima na superfície é dada por
onde:
-
é o torque aplicado (unidade: N·m), -
é o raio externo da seção circular (ou seja, ), -
é o momento polar de inércia da seção circular. -
Para uma seção circular maciça com diâmetro
,
Explicando:
mede a resistência geométrica da seção à torção; para um círculo, a fórmula é
.
Passo 3
Relacionar
com
e
substituindo
e
:
Isto nos dá uma expressão direta para o torque em função de
e
:
Passo 4
Fórmula do ângulo de torção (explicação):
- O ângulo de torção
(em radianos) para um eixo de comprimento submetido a um torque é
onde
é o módulo de cisalhamento. Essa fórmula vem da relação entre deformação de cisalhamento e torque, integrada ao longo do comprimento.
Substituindo
nesta fórmula obtemos
Passo 5
Eliminar
usando a expressão de
(para ficar só em termos de
):
- Substituindo
em ,
Agora simplificar passo a passo:
- O fator
é . - O
no numerador e denominador se cancelam. -
.
Logo
Passo 6
Isolar
a partir da relação obtida:
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular o diâmetro exigido. Observação prática:
deve estar em radianos e todas as grandezas em unidades do SI (Pa, m, etc.).
Passo 7
Converter os dados para unidades do SI e a unidade do ângulo para radiano:
-
. -
. -
. - Ângulo
em radianos: .
Passo 8
Substituir os valores na fórmula
e calcular passo a passo:
Para simplificar a conta, note que
no denominador equivale a multiplicar por
:
Calcule numericamente (mostrando passos):
- Numerador:
. - Denominador:
.
Agora a divisão:
Convertendo para milímetros:
Passo 9
Interpretação prática e arredondamento:
- O diâmetro calculado é a menor seção circular que garante que, ao torcer a barra de
em , a tensão de cisalhamento não ultrapasse . - Arredondando para três algarismos significativos, podemos usar
. - Em projeto real escolher-se-ia um diâmetro comercial imediatamente maior (por segurança e disponibilidade), mas o valor calculado é o admissível teórico mínimo.