1. [ 2 pontos] Determine o diâmetro admissível para uma barra de 3 m de comprimento ( G=75 \mathrm{GPa} ) se a barra deve ser torcida em 30^{\circ} sem exceder a tensão cisalhante admissível de 80 Mpa .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei os dados exatamente como foram fornecidos):
  • Comprimento da barra: L=3\\ \mathrm{m}.
  • Módulo de cisalhamento: G=75\\ \mathrm{GPa}.
  • A barra deve ser torcida em 30^\circ.
  • Tensão cisalhante admissível: \tau_{\mathrm{adm}}=80\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede:
  • Determinar o diâmetro admissível d da barra (assume-se eixo circular maciço) de modo que, quando aplicada a torção que produz o ângulo de torção pedido, a tensão cisalhante não exceda \tau_{\mathrm{adm}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (explicadas passo a passo):
  • Para uma barra circular maciça submetida a um torque T, a tensão cisalhante máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (unidade: N·m),
  • c é o raio externo da seção circular (ou seja, c=d/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção circular.
  • Para uma seção circular maciça com diâmetro d,
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Explicando: J mede a resistência geométrica da seção à torção; para um círculo, a fórmula é \pi d^4/32.

Passo 3

Relacionar \tau_{\max} com T e d substituindo c=d/2 e J=\pi d^{4}/32:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32} =\frac{T\,d}{2}\cdot\frac{32}{\pi d^{4}} =\frac{16T}{\pi d^{3}}.
Isto nos dá uma expressão direta para o torque em função de \tau_{\max} e d:
T=\frac{\pi d^{3}\tau_{\max}}{16}.

Passo 4

Fórmula do ângulo de torção (explicação):
  • O ângulo de torção \varphi (em radianos) para um eixo de comprimento L submetido a um torque T é
\varphi=\frac{T L}{J G},
onde G é o módulo de cisalhamento. Essa fórmula vem da relação entre deformação de cisalhamento e torque, integrada ao longo do comprimento.
Substituindo J=\pi d^{4}/32 nesta fórmula obtemos
\varphi=\frac{T L}{(\pi d^{4}/32)G}=\frac{32T L}{\pi d^{4}G}.

Passo 5

Eliminar T usando a expressão de \tau_{\max} (para ficar só em termos de \tau_{\max},d,L,G):
  • Substituindo T=\dfrac{\pi d^{3}\tau_{\max}}{16} em \varphi=\dfrac{32T L}{\pi d^{4}G},
\varphi=\frac{32}{\pi d^{4}G}\cdot\left(\frac{\pi d^{3}\tau_{\max}}{16}\right)L.
Agora simplificar passo a passo:
  • O fator 32/16 é 2.
  • O \pi no numerador e denominador se cancelam.
  • d^{3}/d^{4}=1/d.
    Logo
\varphi=\frac{2\tau_{\max}L}{dG}.

Passo 6

Isolar d a partir da relação obtida:
\varphi=\frac{2\tau_{\max}L}{dG}\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{2\tau_{\max}L}{\varphi G}.
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular o diâmetro exigido. Observação prática: \varphi deve estar em radianos e todas as grandezas em unidades do SI (Pa, m, etc.).

Passo 7

Converter os dados para unidades do SI e a unidade do ângulo para radiano:
  • \tau_{\max}=80\\ \mathrm{MPa}=80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • G=75\\ \mathrm{GPa}=75\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • L=3\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo 30^\circ em radianos: \varphi=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad}.

Passo 8

Substituir os valores na fórmula d=\dfrac{2\tau_{\max}L}{\varphi G} e calcular passo a passo:
d=\frac{2\cdot(80\times10^{6})\cdot 3}{(\pi/6)\cdot(75\times10^{9})}.
Para simplificar a conta, note que (\pi/6) no denominador equivale a multiplicar por 6/\pi:
d=\frac{2\cdot80\times10^{6}\cdot 3\cdot 6}{\pi\cdot 75\times10^{9}} =\frac{12\cdot 80\cdot 3\times10^{6}}{\pi\cdot 75\times10^{9}}.
Calcule numericamente (mostrando passos):
  • Numerador: 2\cdot80\times10^{6}\cdot 3 = 480\times10^{6} = 4{,}80\times10^{8}.
  • Denominador: (\pi/6)\cdot 75\times10^{9} \approx 0{,}523598776\cdot75\times10^{9}\approx 3{,}926990816\times10^{10}.
Agora a divisão:
d \approx \frac{4{,}80\times10^{8}}{3{,}926990816\times10^{10}} \approx 0{,}0122247\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
d\approx 12{,}2247\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Interpretação prática e arredondamento:
  • O diâmetro calculado é a menor seção circular que garante que, ao torcer a barra de 3\\ \mathrm{m} em 30^\circ, a tensão de cisalhamento não ultrapasse 80\\ \mathrm{MPa}.
  • Arredondando para três algarismos significativos, podemos usar d\approx 0{,}01222\\ \mathrm{m}=12{,}22\\ \mathrm{mm}.
  • Em projeto real escolher-se-ia um diâmetro comercial imediatamente maior (por segurança e disponibilidade), mas o valor calculado é o admissível teórico mínimo.

Resposta

d\approx 0,01222\\ \mathrm{m}=12,22\\ \mathrm{mm}

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