[13.3:63] Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Apóstrofo denota derivadas com relação a t. Comece como na demonstração do Teorema 10.)
r^prime prime=s^prime prime T+kappa s^prime 2 N sendo s^prime 2=(d sd t)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a segunda derivada do vetor posição \mathbf{r}(t) se escreve como\r’’ = s’’\mathbf{T} + κ s’^2\mathbf{N}, onde s’ = ds/dt. O assunto é as fórmulas de Frenet–Serret e vamos usar a regra da cadeia para derivar vetores em função de t.

Passo 2

Começamos lembrando que parametrizando por s (comprimento de arco) temos \mathbf{T} = d\mathbf{r}/ds. Como t é outro parâmetro, pela regra da cadeia\mathbf{r}’ = d\mathbf{r}/dt = (ds/dt) d\mathbf{r}/ds = s’\mathbf{T}.

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a t usando a regra do produto: \mathbf{r}’’ = (s’)’\mathbf{T} + s’ , d\mathbf{T}/dt = s’’\mathbf{T} + s’ , d\mathbf{T}/dt.

Passo 4

Para tratar d\mathbf{T}/dt aplicamos de novo a regra da cadeia pensando em s: d\mathbf{T}/dt = (d\mathbf{T}/ds)(ds/dt). Mas pela fórmula de Frenet–Serret sabemos que d\mathbf{T}/ds = κ\mathbf{N}. Logo d\mathbf{T}/dt = κ\mathbf{N} , s’.

Passo 5

Por fim substituímos d\mathbf{T}/dt na expressão de \mathbf{r}’’ e obtemos \mathbf{r}’’ = s’’\mathbf{T} + s’(κ s’)\mathbf{N} = s’’\mathbf{T} + κ s’^2\mathbf{N}, como queríamos demonstrar.

Resposta

\mathbf{r}’’ = s’’\mathbf{T} + κ , s’^2\mathbf{N}

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