13- Um avião supersônico, voando para o leste a uma latitude de 15 km , passa diretamente acima do ponto P. O estrondo sônico é escutado no ponto P, quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual é a velocidade do avião supersônico? Considerar vsom =340 m / s.

Passo 1

O enunciado diz que um avião supersônico voa horizontalmente para o leste a uma altitude de 15,km, passando exatamente sobre o ponto P. O observador em P escuta o estrondo sônico quando o avião já está 22,km a leste de P. Queremos encontrar a velocidade v do avião, sabendo que a velocidade do som é vrm som=340,m/s. O conteúdo usado será a geometria do cone de Mach: o ângulo do cone satisfaz sinmu = vrm som/v.

Passo 2

Quando o estrondo chega em P, o ponto P está sobre a superfície do cone de Mach gerado pelo avião na posição S (distância horizontal x=22,km a leste e vertical h=15,km acima de P). Seja mu o ângulo entre o eixo do voo (horizontal) e o lado do cone. Da definição do cone de Mach:
sinmu = vrm somv
Geometricamente, na vista lateral, o raio do cone forma com a horizontal um ângulo cujo seno é a razão entre a altura e a hipotenusa L (distância direta de S até P):
sinmu = hL, L=raizh^2 + x^2

Passo 3

Igualando as duas expressões para sinmu, temos
vrm somv = hraizh^2 + x^2 Longrightarrow v = vrm som,raizh^2 + x^2h

Passo 4

Substituindo h=15,km=1,5times10^4, m, x=22,km=2,2times10^4, m e vrm som=340,m/s:
L = raiz(1,5times10^4)^2 + (2,2times10^4)^2 = raiz2,25times10^8 + 4,84times10^8 = raiz7,09times10^8 approx 2,663times10^4, m,
v = 340,2,663times10^41,5times10^4 approx 340 times 1,7753 approx 603,6;m/s

Resposta

A velocidade do avião é aproximadamente 6,04times10^2;m/s.

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