2- Um bloco de 1,00 kg é preso a uma mola e colocado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de 20,0 N é necessária para manter o bloco em repouso quando ele é puxado 0,200 m de sua posição de repouso (considerada a origem no eixo x ). O bloco então é solto do repouso a partir da posição xi=0,200 m, passando a efetuar um movimento harmônico simples. Encontre:
(a) a constante de força da mola,
(b) a frequência das oscilações,
(c) a velocidade máxima do bloco. Em que posição ocorre essa velocidade máxima?
(d) Encontre a aceleração máxima do bloco, e onde ela ocorre.
(e) Qual a energia total do sistema?
(f) Encontre a velocidade e a aceleração do bloco quando sua posição é igual a um terço do valor máximo.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=1,00 kg preso a uma mola sem atrito, que é deslocado até xi=0,200 m e precisa de uma força constante F=20,0 N para equilibrar. Depois ele é solto e executa movimento harmônico simples (MHS). Para resolver, vamos usar a Lei de Hooke e as fórmulas do MHS:
;F=kx, ;omega=raiztfrackm, ;f=tfracomega2pi, ;vmax=omega A, ;amax=omega^2 A, ;E=tfrac12kA^2, ;v(x)=omegaraizA^2-x^2, ;a(x)=-omega^2x.

Passo 2

Para (a), em equilíbrio estático a força da mola iguala F, ou seja
F = k,xi
Logo
k = Fxi = 20,00,200 = 100 N/m

Passo 3

Para (b), a pulsação é
omega = raizkm = raiz1001,00 = 10 rad/s,
e a frequência é
f = omega2pi = 102piapprox1,59 Hz

Passo 4

Para (c), a amplitude A vale xi=0,200 m. A velocidade máxima no MHS ocorre em x=0 e vale
vmax = omega A = 10 times 0,200 = 2,00 m/s

Passo 5

Para (d), a aceleração máxima ocorre nos extremos x=pm A e vale
amax = omega^2 A = (10)^2 times 0,200 = 20,0 m/s^2

Passo 6

Para (e), a energia total é puramente potencial máxima (ou cinética máxima)
E = tfrac12,k,A^2 = tfrac12 times 100 times (0,200)^2 = 2,00 J

Passo 7

Para (f), quando x = tfracA3 = 0,200/3 approx0,0667 m:
v = omegaraizA^2 - x^2 = 10raiz(0,200)^2 - (0,0667)^2 approx1,89 m/s,
a = -,omega^2,x = - (10)^2 times 0,0667 approx -6,67 m/s^2

Resposta

(a) k=100 N/m
(b) f=dfrac102piapprox1,59 Hz
(c) vmax=2,00 m/s, ocorre em x=0.
(d) amax=20,0 m/s^2, ocorre em x=pm0,200 m.
(e) E=2,00 J
(f) Quando x=A/3: vapprox1,89 m/s, aapprox-6,67 m/s^2

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