13^circ ) Encontre o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores: a=i+3 k, b=2 i+j-2 k e c=5 i+4 k.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores a=i+3k, b=2i+j-2k e c=5i+4k. Esse exercício envolve o produto misto de vetores (produto escalar triplo) no espaço.

Passo 2

Para calcular o volume, usamos a fórmula:
V = l|acdot (btimes c)r|
ou equivalentemente o valor absoluto do determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas de a,b,c.

Passo 3

Primeiro, montamos as coordenadas em forma de vetor: a=(1,0,3), b=(2,1,-2), c=(5,0,4). Em seguida, calculamos o produto vetorial btimesc:
btimes c = i & j & k 2 & 1 & -2 5 & 0 & 4 = (1cdot4 - (-2)cdot0)i - (2cdot4 - (-2)cdot5)j + (2cdot0 - 1cdot5)k
btimes c = 4i - 18j - 5k ou como tupla (4,-18,-5)

Passo 4

Depois, fazemos o produto escalar de a com btimesc:
acdot(btimesc) = (1,0,3)cdot(4,-18,-5) = 1cdot4 + 0cdot(-18) + 3cdot(-5) = 4 - 15 = -11

Passo 5

Finalmente, o volume é o valor absoluto desse resultado:
V = | -11 | = 11

Resposta

11

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