Para quais condições a edo (a x+b y) d x+(c x+d y) d y=0 é exata?

Passo 1

O enunciado pede para achar as condições em que a equação diferencial
(a x + b y),dx + (c x + d y),dy = 0
é exata. O conteúdo envolve o teste de exatidão para edos do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, que exige calcular as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = a x + b y e N(x,y) = c x + d y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = b, partial Npartial x = c

Passo 3

Aplicamos a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x, o que implica
b = c

Resposta

A equação é exata se, e somente se, b = c.

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