Prove que:
Se
é ímpar então
é par
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se $ n^{2} - 1 $ é ímpar, então $ n $ é par. Vamos trabalhar com números inteiros e usar conceitos de paridade (ou seja, se um número é par ou ímpar). Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser par ou ímpar e como essas propriedades se relacionam quando fazemos operações como potências e subtrações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser dividido por 2 sem deixar resto, ou seja, pode ser escrito como $ n = 2k $, onde $ k $ é um inteiro. Já um número é ímpar se, ao dividir por 2, sobra 1, podendo ser escrito como $ n = 2k + 1 $.
Passo 3
Agora, sabemos que $ n^{2} - 1 $ é ímpar. Então, vamos supor que $ n $ seja ímpar e ver se isso leva a uma contradição, o que ajudará a provar que $ n $ deve ser par.
Passo 4
Se $ n $ é ímpar, podemos escrever $ n = 2k + 1 $, onde $ k $ é um inteiro. Vamos calcular $ n^{2} - 1 $:
Passo 5
Observamos que $ 4k(k + 1) $ é múltiplo de 4, ou seja, é um número par (na verdade, é divisível por 4). Mas o enunciado afirma que $ n^{2} - 1 $ é ímpar. Isso é uma contradição, porque conseguimos mostrar que se $ n $ é ímpar, então $ n^{2} - 1 $ tem que ser par.
Passo 6
Como nossa suposição de que $ n $ é ímpar levou a uma contradição com o enunciado, concluímos que $ n $ não pode ser ímpar. Portanto, $ n $ deve ser par.
Resposta
Portanto, se $ n^{2} - 1 $ é ímpar, então $ n $ necessariamente é par.