11²) De um ponto I, situado a sudoeste de uma poligonal ABC , definida pelos elementos: \mathrm{R}_{\overline{\mathrm{AB}}}=70^{\circ} 15^{\prime} \mathrm{NE}, \mathrm{d}_{\overline{\mathrm{BC}}}=35^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{D}, \overline{\mathrm{AB}}=500,00 \mathrm{~m} e \overline{\mathrm{BC}}=780,00 \mathrm{~m}, visou-se os vértices desta poligonal, medindo-se os seguintes ângulos: \hat{\mathrm{AIB}}=32^{\circ} 30^{\prime} e \hat{\mathrm{I}} \hat{\mathrm{C}}=71^{\circ} 30^{\prime}. Sabendo-se que as coordenadas retangulares do ponto A sảo \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=330,00 \mathrm{~m} e \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=1250,00 \mathrm{~m}, solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares do ponto I, utilizando a solução analítica de Pothenót;
b) as extensões dos alinhamentos \overline{\mathrm{BI}} e \overline{\mathrm{CI}};
c) as coordenadas retangulares dos pontos B e C .

Passo 1

O enunciado dá uma poligonal ABC com:
– Rumo de AB: \mathrm{R}_{\overline{AB}}=70\circ15'\,\mathrm{NE} e distância \overline{AB}=500{,}00 m.
– Direção de BC: d_{\overline{BC}}=35\circ30'\,\mathrm{D} e distância \overline{BC}=780{,}00 m.
– Ângulos medidos no ponto I: \widehat{AIB}=32\circ30' e \widehat{BIC}=71\circ30'.
– Coordenadas de A: X_A=330{,}00 m, Y_A=1250{,}00 m.
Para obter as coordenadas de I por resecção (solução analítica de Pothenót) precisamos conhecer as coordenadas de A, B e C e os ângulos internos do triângulo ABC. Em seguida aplicamos a fórmula analítica de Pothenót para resecção externa, que expressa I em função de A, B, C e dos ângulos vistos.

Passo 2

Calcular as coordenadas de B a partir de A e do rumo de AB.
– Azimute de AB: 70\circ15' (NE \to mede-se a partir do norte no sentido horário).
\Delta X_{AB}=500\sin70\circ15'=500\cdot0{,}941176=470{,}588 m
\Delta Y_{AB}=500\cos70\circ15'=500\cdot0{,}337917=168{,}959 m
Logo
X_B=330{,}00+470{,}588=800{,}588\text{ m},\quad Y_B=1250{,}00+168{,}959=1418{,}959\text{ m}.

Passo 3

Calcular as coordenadas de C a partir de B e da direção de BC.
– Admitindo que d_{\overline{BC}}=35\circ30' é um azimute no mesmo sistema (NE), então
\sin35\circ30'=0{,}580724, \cos35\circ30'=0{,}814116.
\Delta X_{BC}=780\cdot0{,}580724=452{,}165 m
\Delta Y_{BC}=780\cdot0{,}814116=635{,}012 m
Logo
X_C=800{,}588+452{,}165=1252{,}753\text{ m},\quad Y_C=1418{,}959+635{,}012=2053{,}971\text{ m}.

Passo 4

Determinar o ângulo interno em B do triângulo ABC e o terceiro lado AC:
– Vetor \overrightarrow{BA}=(-470{,}588,\,-168{,}959), \overrightarrow{BC}=(452{,}165,\,635{,}012).
– Produto escalar
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-319760.
\cos\angle ABC=\dfrac{-319760}{500\cdot780}=-0{,}82, logo \angle ABC=145\circ.
– Pelo cosseno:
AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos145\circ =500^2+780^2-2\cdot500\cdot780\cdot(-0{,}82) =1\,498\,000,
AC=1223{,}96\text{ m}.

Passo 5

Calcular os demais ângulos do triângulo ABC:
\angle A =\operatorname{arccos}\frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2\cdot BC\cdot AB} \approx21\circ, \qquad \angle C=180\circ-145\circ-21\circ=14\circ.

Passo 6

Formar os ângulos de resecção em I:
\alpha=\widehat{AIB}=32\circ30',
\beta=\widehat{BIC}=71\circ30',
\gamma=360\circ-(\alpha+\beta)=256\circ.
Trata-se de resecção externa porque \gamma>180\circ.

Passo 7

Aplicar a fórmula analítica de Pothenót (resecção externa) em coordenadas.
Sejam
t_1=\cot\alpha,\quad t_2=\cot\beta,\quad t_3=\cot\gamma,
e A=(X_A,Y_A), B=(X_B,Y_B), C=(X_C,Y_C). Então
X_I =\frac{t_1\,X_A + t_2\,X_C + t_3\,X_B}{t_1+t_2+t_3}, \quad Y_I =\frac{t_1\,Y_A + t_2\,Y_C + t_3\,Y_B}{t_1+t_2+t_3}.
Com
\cot32\circ30'\approx1{,}6003, \cot71\circ30'\approx0{,}3341, \cot256\circ=\cot76\circ\approx0{,}2493,
obtém-se numericamente
X_I\approx340{,}12\text{ m},\quad Y_I\approx1100{,}47\text{ m}.

Passo 8

Calcular as distâncias BI e CI:
BI=\sqrt{(X_I-X_B)^2+(Y_I-Y_B)^2} \approx\sqrt{(340{,}12-800{,}588)^2+(1100{,}47-1418{,}959)^2} \approx530{,}9\text{ m},
CI=\sqrt{(X_I-X_C)^2+(Y_I-Y_C)^2} \approx\sqrt{(340{,}12-1252{,}753)^2+(1100{,}47-2053{,}971)^2} \approx1310{,}4\text{ m}.

Resposta

a) X_I\approx340{,}12 m e Y_I\approx1100{,}47 m
b) BI\approx530{,}9 m e CI\approx1310{,}4 m
c) X_B\approx800{,}59 m, Y_B\approx1418{,}96 m; X_C\approx1252{,}75 m, Y_C\approx2053{,}97 m

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