13^{\circ} ) Seja \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é absolutamente convergente e \lim b_{n}=0. Prove que \lim c_{n}=0, onde c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n-1} b_{1}+ a_{n} b_{0}.

Passo 1

O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} é absolutamente convergente e que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. Definimos
c_{n} \;=\;\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,b_{\,n-k}
e queremos provar que \lim_{n\to\infty}c_{n}=0. O conteúdo envolvido é a convolução de duas sequências, uma absolutamente somável e outra que tende a zero.

Passo 2

Como (b_{n}) converge para zero, ela é limitada. Seja
M \;=\;\sup_{n\ge0}\bigl|b_{n}\bigr|\;<\;\infty.
Também, defina
A \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|\;<\;\infty.
Dado \varepsilon>0, pelo limite b_{n}\to0 existe K tal que, para todo m\ge K,
\bigl|b_{m}\bigr| \;<\;\frac{\varepsilon}{2A}.

Passo 3

Para n\ge K dividimos a soma que define c_{n} em duas partes:
c_{n} =\sum_{k=0}^{n-K}a_{k}\,b_{n-k} \;+\;\sum_{k=n-K+1}^{n}a_{k}\,b_{n-k}.
Na primeira parte, como n-k\ge K, temos \bigl|b_{n-k}\bigr|<\varepsilon/(2A). Logo,
\Bigl|\sum_{k=0}^{n-K}a_{k}\,b_{n-k}\Bigr| \;\le\;\sum_{k=0}^{n-K}\bigl|a_{k}\bigr|\;\bigl|b_{n-k}\bigr| \;<\;\frac{\varepsilon}{2A}\sum_{k=0}^{n-K}\bigl|a_{k}\bigr| \;\le\;\frac{\varepsilon}{2A}\,A \;=\;\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 4

Na segunda parte temos o fator b_{n-k} limitado por M, então
\Bigl|\sum_{k=n-K+1}^{n}a_{k}\,b_{n-k}\Bigr| \;\le\;M\sum_{k=n-K+1}^{n}\bigl|a_{k}\bigr|.
Como \sum_{n=0}^{\infty}|a_{n}| converge, existe L tal que
\sum_{k=L}^{\infty}\bigl|a_{k}\bigr| \;<\;\frac{\varepsilon}{2M}.
Para n suficientemente grande temos n-K+1\ge L, e assim
\sum_{k=n-K+1}^{n}\bigl|a_{k}\bigr| \;\le\;\sum_{k=L}^{\infty}\bigl|a_{k}\bigr| \;<\;\frac{\varepsilon}{2M},
logo a segunda parte fica <M\cdot(\varepsilon/(2M))=\varepsilon/2.

Passo 5

Juntando as duas partes, para n grande fica
\bigl|c_{n}\bigr| \;\le\;\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \;=\;\varepsilon.
Como \varepsilon>0 era arbitrário, concluímos que \lim_{n\to\infty}c_{n}=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=0.

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