13^{\circ} ) Seja \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é absolutamente convergente e \lim b_{n}=0. Prove que \lim c_{n}=0, onde c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n-1} b_{1}+a_{n} b_{0}.
Passo 1
O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} é absolutamente convergente e que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. Definimos
c_{n} \;=\;\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,b_{\,n-k}
e queremos provar que \lim_{n\to\infty}c_{n}=0. O conteúdo envolvido é a convolução de duas sequências, uma absolutamente somável e outra que tende a zero.
Passo 2
Como (b_{n}) converge para zero, ela é limitada. Seja
M \;=\;\sup_{n\ge0}\bigl|b_{n}\bigr|\;<\;\infty.
Também, defina
A \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|\;<\;\infty.
Dado \varepsilon>0, pelo limite b_{n}\to0 existe K tal que, para todo m\ge K,
\bigl|b_{m}\bigr| \;<\;\frac{\varepsilon}{2A}.
Passo 3
Para n\ge K dividimos a soma que define c_{n} em duas partes: