17^{\circ} ) Determine para que valores de x cada uma das sequências seguintes convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} \cdot x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k}\,x^{n}
converge. O conteúdo principal é o estudo de séries de potências usando o teste da razão e a análise dos casos de contorno.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série. Seja
a_{n}=n^{k}x^{n}.
Então
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} =\frac{(n+1)^{k}\,\lvert x\rvert^{\,n+1}}{n^{k}\,\lvert x\rvert^{\,n}} =\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{k}\,\lvert x\rvert \longrightarrow 1^{k}\,\lvert x\rvert =\lvert x\rvert \quad\text{quando }n\to\infty.
Pelo teste da razão, a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1.

Passo 3

Falta examinar os casos \lvert x\rvert=1.
  1. Para x=1, a série vira \sum n^{k}, cujo termo geral n^{k} não tende a zero, logo diverge.
  2. Para x=-1, a série vira \sum(-1)^{n}n^{k}. Aqui o módulo do termo é n^{k} que também não tende a zero, então diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{k}x^{n} converge se, e somente se,
\lvert x\rvert<1.

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