P 13.1. Classifique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)definidas positivas, negativas, ou indefinidas ( a é um parâmetro real).
[cc-2 & 1 1 & -3]

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a matriz simétrica
A = -2 & 1 1 & -3
quanto a ser definida ou semidefinida, positiva, negativa ou indefinida. Vamos usar o critério de Sylvester, que estuda os determinantes dos menores principais.

Passo 2

Calculamos os menores principais de ordem 1 e 2:
O menor principal de ordem 1 é
D1 = -2
O menor principal de ordem 2 é o determinante de A:
D2 = det(A) = (-2)(-3) - 1cdot1 = 6 - 1 = 5

Passo 3

Pelo critério de Sylvester para matrizes definidas negativas, os sinais de (-1)^kDk devem ser todos positivos.
Aqui:
(-1)^1D1 = -(-2) = 2 > 0, (-1)^2D2 = 1cdot 5 = 5 > 0
Como ambas as quantidades são positivas, concluímos que A é definida negativa.

Resposta

A matriz
-2 & 1 1 & -3
é definida negativa.

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