Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Então são equivalentes :
i)
equação matricial
tem soluções não nulas.
Fixemos um
-espaço vetorial
com base ordenada
, e
um operador linear. Se consideramos
e
, então temos a seguinte equação matricial
de onde segue que:
Então, temos a seguinte proposição.
i)
Passo 1
O enunciado trabalha com um
-espaço vetorial de dimensão finita
e um operador linear
. Fixando uma base ordenada
, o operador fica representado pela matriz
. Verifica-se que dizer que existe vetor não nulo
tal que
é equivalente a afirmar que existe vetor não nulo coordenado por
satisfazendo
Ou seja,
é valor próprio de
se e só se a matriz
tiver núcleo não trivial.
Passo 2
Mostramos que “
admite solução não nula” implica “
não é injetora”.
Como em espaços de dimensão finita injetividade equivale a bijetividade, temos que
Como em espaços de dimensão finita injetividade equivale a bijetividade, temos que
Passo 3
Recordamos o critério de invertibilidade por determinante: uma matriz quadrada
é invertível se e somente se
. Portanto, de
segue
Passo 4
Para o recíproco, partimos de
. Então
não é invertível, logo não é injetora em espaço de dimensão finita, e por consequência seu núcleo é não trivial. Assim existe
tal que
isto é,
, mostrando de volta a existência de vetor próprio não nulo.
Resposta
As condições são todas equivalentes:
(1) existe com
;
(2) não é invertível;
(3) .
(1) existe
(2)
(3)