Sejam V um K-espaço vetorial e T: V longrightarrow V um operador linear. Então são equivalentes :
i) A equação matricial A X=lambda X tem soluções não nulas.
Fixemos um K-espaço vetorial V com base ordenada B=v1, ldots, vn, e T: V longrightarrow V um operador linear. Se consideramos A=[T]B e X=[v]B, então temos a seguinte equação matricial
A X=lambda X ou T(v)=lambda v
de onde segue que:
(A X-lambda X)=0V Leftrightarrow(A-lambda In) X=0V
Então, temos a seguinte proposição.

Passo 1

O enunciado trabalha com um K-espaço vetorial de dimensão finita V e um operador linear Tcolon Vto V. Fixando uma base ordenada B, o operador fica representado pela matriz A=[T]B. Verifica-se que dizer que existe vetor não nulo vin V tal que
T(v)=lambda v
é equivalente a afirmar que existe vetor não nulo coordenado por X satisfazendo
A,X=lambda X Long<=ftrightarrow l(A-lambda Inr)X=0
Ou seja, lambda é valor próprio de T se e só se a matriz A-lambda In tiver núcleo não trivial.

Passo 2

Mostramos que “ l(A-lambda Inr)X=0 admite solução não nula” implica “ A-lambda In não é injetora”.
Como em espaços de dimensão finita injetividade equivale a bijetividade, temos que
exists,Xneq 0,;(A-lambda In)X=0 Longrightarrow A-lambda In não é invertível ãéí

Passo 3

Recordamos o critério de invertibilidade por determinante: uma matriz quadrada M é invertível se e somente se det(M)neq 0. Portanto, de
A-lambda In não é invertível ãéí
segue
detl(A-lambda Inr)=0

Passo 4

Para o recíproco, partimos de det(A-lambda In)=0. Então A-lambda In não é invertível, logo não é injetora em espaço de dimensão finita, e por consequência seu núcleo é não trivial. Assim existe Xneq 0 tal que
(A-lambda In)X=0,
isto é, A,X=lambda X, mostrando de volta a existência de vetor próprio não nulo.

Resposta

As condições são todas equivalentes:
(1) existe Xneq 0 com A,X=lambda X;
(2) A-lambda In não é invertível;
(3) det(A-lambda In)=0.

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