P 13.1. Classifique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)definidas positivas, negativas, ou indefinidas ( é um parâmetro real).
Passo 1
O enunciado pede a classificação da matriz M=1 & 2 2 & a
quanto a ser definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa, semidefinida negativa ou indefinida. Como M é simétrica em R^2times2, usamos o critério de Sylvester, que relaciona os menores principais aos sinais dos autovalores.
Passo 2
Calculamos os menores principais de M:
d1 = 1, d2 = det(M) = 1cdot a - 2cdot2 = a - 4
Passo 3
Para M ser positiva definida precisamos de
d1>0 e d2>0
Como d1=1>0 sempre, basta a-4>0, ou seja
a>4
Passo 4
Para M ser positiva semidefinida é necessário
d1>=0 e d2>=0,
mas sem ser definida positiva. Como d1=1>=0 sempre, fica a-4>=0. Dessas soluções, a=4 é a única que zera d2 sem violar d1>0, caracterizando semidefinição positiva.
Passo 5
Para M ser negativa definida seriam exigidos
d1<0 e d2>0,
mas d1=1 não pode ser <0. Para ser semidefinida negativa precisaríamos de autovalores <=0, o que implica traço <=0 e determinante >=0. O traço é 1+a, logo 1+a<=0 dá a<=-1, enquanto det=a-4>=0 dá a>=4: não há a real que satisfaça ambas.
Passo 6
Se a<4 então d2=a-4<0, o que faz com que os autovalores tenham sinais opostos e M seja indefinida.
Resposta
A matriz 1 & 2 2 & a é positiva definida para a>4, positiva semidefinida para a=4 e indefinida para a<4.