Um vetor v=(x, y, z) tem de norma 400 faz ângulos thetax=pi / 3 e thetay=pi / 5 com os eixos x e y respectivamente. Sabendo que z>0 determine o ângulo thetaz e v.

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor v=(x,y,z) de norma 400 que forma ângulos thetax=pi3 e thetay=pi5 com os eixos x e y, respectivamente. Queremos usar as razões trigonométricas conhecidas como cossenos diretores, que satisfazem
costhetax = x|v|, costhetay = y|v|, costhetaz = z|v|,
e ainda |v|^2 = x^2 + y^2 + z^2.

Passo 2

Para encontrar x, aplicamos costhetax = x/400 com thetax=pi/3. Logo,
x = 400cos!l(tfracpi3r) = 400cdottfrac12 = 200

Passo 3

De modo análogo, para y usamos costhetay = y/400 com thetay=pi/5. Sabemos que
cos!l(tfracpi5r) = raiz5+14,
então
y = 400cdotraiz5+14 = 100,(raiz5+1)

Passo 4

Como |v|=400, temos
z = raiz400^2 - x^2 - y^2 = raiz160000 - 200^2 - l(100(raiz5+1)r)^2
Note que l(100(raiz5+1)r)^2 =10000(6+2raiz5), logo
z = raiz160000 - 40000 - (60000+20000raiz5) = raiz20000(3-raiz5) = 100(raiz5-1),
já que raiz6-2raiz5=raiz5-1.

Passo 5

Para o ângulo thetaz com o eixo z basta usar
costhetaz = z400 = 100(raiz5-1)400 = raiz5-14,
logo
thetaz = arccos!l(tfracraiz5-14r)

Resposta

thetaz = arccos!l(tfracraiz5-14r) v = l(200,;100(raiz5+1),;100(raiz5-1)r)

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