Seja
i) Ache o polinômio característico de A.
ii) Ache os autovalores de A e os autovetores correspondentes. A é diagonalizável?. Justifique!.
iii) Ache uma matriz M inversível tal que a matriz M^-1 A M seja uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 2 & 73 & 5
ou seja, i) achar o polinômio característico de A, ii) encontrar os autovalores e autovetores e verificar se A é diagonalizável, e iii) exibir uma matriz inversível M tal que M^-1AM seja diagonal. Vamos usar definições de determinante, fórmula de Bhaskara para raízes de polinômio quadrático e o critério de diagonalizabilidade baseada em autovalores distintos.
Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0. Tomando vetores da forma vi=(x,y), a primeira linha dá
(2-lambdai)x+7y=0 implies (2-lambdai)x=-7y
Uma escolha conveniente é
vi=7lambdai-2,
pois verifica (2-lambdai)cdot7+7(lambdai-2)=0. Assim, autovetores são
v1=7tfrac7+raiz932-2, v2=7tfrac7-raiz932-2
Passo 5
Como lambda1neqlambda2, os vetores v1 e v2 são linearmente independentes. Portanto A tem duas direções próprias distintas e é diagonalizável.
Passo 6
Bastam usar v1 e v2 como colunas de M. Por exemplo,
M= 7 & 7[6pt] 7+raiz932-2 & 7-raiz932-2
é inversível e satisfaz
M^-1AM=lambda1&00&lambda2 ]
Resposta
i) chiA(lambda)=lambda^2-7lambda-11
ii) lambda1,2=tfrac7pmraiz932 com autovetores 7tfrac7pmraiz932-2. Como são dois autovalores distintos, A é diagonalizável.
iii) Uma opção de M é
7 & 7[6pt] tfrac7+raiz932-2 & tfrac7-raiz932-2 ,
de modo que M^-1AM=diagl(tfrac7+raiz932,tfrac7-raiz932r).
]