Seja A=(ll2 & 7 3 & 5)
i) Ache o polinômio característico de A.
ii) Ache os autovalores de A e os autovetores correspondentes. A é diagonalizável?. Justifique!.
iii) Ache uma matriz M inversível tal que a matriz M^-1 A M seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 2 & 73 & 5
ou seja, i) achar o polinômio característico de A, ii) encontrar os autovalores e autovetores e verificar se A é diagonalizável, e iii) exibir uma matriz inversível M tal que M^-1AM seja diagonal. Vamos usar definições de determinante, fórmula de Bhaskara para raízes de polinômio quadrático e o critério de diagonalizabilidade baseada em autovalores distintos.

Passo 2

O polinômio característico é
chiA(lambda)=det(A-lambda I)
Calculando o determinante:
chiA(lambda)=det2-lambda & 73 & 5-lambda=(2-lambda)(5-lambda)-21
Expandindo, obtemos
chiA(lambda)=lambda^2-7lambda-11

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^2-7lambda-11=0
pela fórmula de Bhaskara:
lambda=7pmraiz7^2-4cdot1cdot(-11)2=7pmraiz932
Logo,
lambda1=7+raiz932, lambda2=7-raiz932

Passo 4

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0. Tomando vetores da forma vi=(x,y), a primeira linha dá
(2-lambdai)x+7y=0 implies (2-lambdai)x=-7y
Uma escolha conveniente é
vi=7lambdai-2,
pois verifica
(2-lambdai)cdot7+7(lambdai-2)=0. Assim, autovetores são
v1=7tfrac7+raiz932-2, v2=7tfrac7-raiz932-2

Passo 5

Como lambda1neqlambda2, os vetores v1 e v2 são linearmente independentes. Portanto A tem duas direções próprias distintas e é diagonalizável.

Passo 6

Bastam usar v1 e v2 como colunas de M. Por exemplo,
M= 7 & 7[6pt] 7+raiz932-2 & 7-raiz932-2
é inversível e satisfaz
M^-1AM=lambda1&00&lambda2 ]

Resposta

i) chiA(lambda)=lambda^2-7lambda-11
ii) lambda1,2=tfrac7pmraiz932 com autovetores
7tfrac7pmraiz932-2. Como são dois autovalores distintos, A é diagonalizável.
iii) Uma opção de M é
7 & 7[6pt] tfrac7+raiz932-2 & tfrac7-raiz932-2 ,
de modo que M^-1AM=diagl(tfrac7+raiz932,tfrac7-raiz932r).
]

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