13 Considerando o mesmo Hamiltoniano do exercício anterior
escreva as equações de movimento de Heisenberg e encontre
e
, para todo instante de tempo. Encontre os valores médios de
e
para o mesmo estado inicial do problema anterior:
Passo 1
O enunciado pede para usar o Hamiltoniano
e, no formalismo de Heisenberg, obter as equações de movimento para os operadores
e depois calcular seus valores médios no estado inicial
. Vamos precisar das relações de comutadores de spin e da equação de Heisenberg
.
Passo 2
Aplicar a equação de Heisenberg para cada componente de spin. Usando
e
temos:
Passo 3
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Resolver o sistema de equações diferenciais lineares. As que ligam
e
formam um oscilador:
então a solução geral é uma rotação no plano
:
Passo 5
Para calcular os valores médios, precisamos de
. No estado
temos as médias iniciais:
\langle S_y(0)\rangle = 0,
][
\langle S_z(0)\rangle = 0.
]
]
Passo 6
Substituir nas soluções de
as médias iniciais e obter:
Resposta
Em Heisenberg:
Valores médios no estado
: