13 Considerando o mesmo Hamiltoniano do exercício anterior
H=-omega Sz
escreva as equações de movimento de Heisenberg e encontre Sx(t), Sy(t) e Sz(t), para todo instante de tempo. Encontre os valores médios de Sx, Sy e Sz para o mesmo estado inicial do problema anterior:
|psi0rang<==12(|+rang<=+|-rang<=)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Hamiltoniano e, no formalismo de Heisenberg, obter as equações de movimento para os operadores e depois calcular seus valores médios no estado inicial . Vamos precisar das relações de comutadores de spin e da equação de Heisenberg .

Passo 2

Aplicar a equação de Heisenberg para cada componente de spin. Usando e temos:

Passo 3

Para dSxdt = ihbar[hat H,Sx] = ihbar(-omega)[Sz,Sx] = omega Sy :
dSydt = ihbar[hat H,Sy] = ihbar(-omega)[Sz,Sy] = -omega Sx
Para dSzdt = ihbar[hat H,Sz] = 0 :
Para :

Passo 4

Resolver o sistema de equações diferenciais lineares. As que ligam d^2Sxdt^2 + omega^2 Sx = 0, e Sx(t) = Sx(0)cos(omega t) + Sy(0)sin(omega t), formam um oscilador:
Sy(t) = Sy(0)cos(omega t) - Sx(0)sin(omega t),
então a solução geral é uma rotação no plano Sz(t) = Sz(0) :

Passo 5

Para calcular os valores médios, precisamos de |psi0rang<= = |+rang<= + |−rang<=raiz2 . No estado
lang<= Sx(0)rang<= = hbar2,
temos as médias iniciais:
lang<= Sy(0)rang<= = 0, [
\langle S_y(0)\rangle = 0,
][
\langle S_z(0)\rangle = 0.
]

Passo 6

Substituir nas soluções de lang<= Sx(t)rang<= = hbar2cos(omega t), as médias iniciais e obter:
lang<= Sy(t)rang<= = -hbar2sin(omega t),
lang<= Sz(t)rang<= = 0

Resposta

Em Heisenberg:
Sx(t)=Sx(0)cos(omega t)+Sy(0)sin(omega t),
Sy(t)=Sy(0)cos(omega t)-Sx(0)sin(omega t),
Sz(t)=Sz(0)
Valores médios no estado lang<= Sx(t)rang<==tfrachbar2cos(omega t), lang<= Sy(t)rang<==-tfrachbar2sin(omega t), lang<= Sz(t)rang<==0 :

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