Considere o problema de precessão de spin, representado pelo Hamiltoniano abaixo:
H=-omega Sz
onde omega=e B / m, que descreve um sistema de spin 1 / 2 na presença de campo magnético na direção z. Se o estado inicial corresponde à projeção de spin positiva na direção x, ou seja:
|psi0rang<==12(|+rang<=+|-rang<=)
determine o estado |psi(t)rang<=, resolvendo a equação de Schroedinger dependente do tempo e determine os valores médios de Sx, Sy e Sz

Passo 1

O enunciado descreve um spin 1/2 num campo magnético em z, com Hamiltoniano hat H=-omega Sz ( omega=eB/m), e estado inicial ao longo de x: lvertpsi0rang<==tfrac1raiz2(lvert+rang<=+lvert-rang<=). Queremos achar lvertpsi(t)rang<= pela equação de Schrödinger dependente do tempo e depois calcular lang<= Sxrang<=,lang<= Syrang<=,lang<= Szrang<=.

Passo 2

Como hat H é independente do tempo, o operador de evolução é hat U(t)=e^-tfracihbarhat Ht. Para facilitar, usamos a base de autovalores de Sz, em que Szlvertpmrang<==pmtfrachbar2lvertpmrang<= e portanto hat Hlvert+rang<==-tfracomegahbar2lvert+rang<=, hat Hlvert-rang<==+tfracomegahbar2lvert-rang<=.

Passo 3

Aplicando hat U(t) em cada autostato:
hat U(t)lvert+rang<==e^-tfracihbar(-tfracomegahbar2)tlvert+rang<==e^+tfraciomega t2lvert+rang<=,
hat U(t)lvert-rang<==e^-tfracihbar(+tfracomegahbar2)tlvert-rang<==e^-tfraciomega t2lvert-rang<=
Como lvertpsi(t)rang<==hat U(t)lvertpsi0rang<=, temos
lvertpsi(t)rang<==1raiz2l(e^+tfraciomega t2lvert+rang<=+e^-tfraciomega t2lvert-rang<=r)

Passo 4

Agora calculamos os valores médios. Escrevendo a(t)=e^+iomega t/2/raiz2 e b(t)=e^-iomega t/2/raiz2, e lembrando que Si=tfrachbar2sigmai, obtemos:
lang<= Sxrang<==hbar2,2Re[a^*(t)b(t)]=hbar2cos(omega t),$
$
lang<= Syrang<==hbar2,(-i)[a^*(t)b(t)-b^*(t)a(t)]=hbar2sin(omega t),

Resposta

(\lvert\psi(t)\rangle=\tfrac1{\sqrt2}\bigl(e^{+\tfrac{i\omega t}{2}}\lvert+\rangle+e^{-\tfrac{i\omega t}{2}}\lvert-\rangle\bigr),\quad\langle S_x\rangle=\frac{\hbar}{2}\cos(\omega t),\quad\langle S_y\rangle=\frac{\hbar}{2}\sin(\omega t),\quad\langle S_z\rangle=0.

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