Considere o problema de precessão de spin, representado pelo Hamiltoniano abaixo:
onde
, que descreve um sistema de spin
na presença de campo magnético na direção
. Se o estado inicial corresponde à projeção de spin positiva na direção
, ou seja:
determine o estado
, resolvendo a equação de Schroedinger dependente do tempo e determine os valores médios de
e
Passo 1
O enunciado descreve um spin 1/2 num campo magnético em z, com Hamiltoniano
(
), e estado inicial ao longo de x:
. Queremos achar
pela equação de Schrödinger dependente do tempo e depois calcular
.
Passo 2
Como
é independente do tempo, o operador de evolução é
. Para facilitar, usamos a base de autovalores de
, em que
e portanto
,
.
Passo 3
Aplicando
em cada autostato:
Como
Passo 4
Agora calculamos os valores médios. Escrevendo
e
, e lembrando que
, obtemos:
Resposta
(\lvert\psi(t)\rangle=\tfrac1{\sqrt2}\bigl(e^{+\tfrac{i\omega t}{2}}\lvert+\rangle+e^{-\tfrac{i\omega t}{2}}\lvert-\rangle\bigr),\quad\langle S_x\rangle=\frac{\hbar}{2}\cos(\omega t),\quad\langle S_y\rangle=\frac{\hbar}{2}\sin(\omega t),\quad\langle S_z\rangle=0.