Obtenha as equações de Bloch para um sistema de dois níveis cujo hamiltoniano possa ser escrito na forma:
H=-muB B0 sigmaz-B1 cos (omega t) sigmax
sendo B0 um campo magnético constante aplicado na direção z e B1 um campo magnético variante no tempo aplicado na direção x.
Encontre a solução do sistema para a matriz densidade no instante inicial na forma:
rho0=12(|+rang<=lang<=+|+|-rang<=lang<=-|)=12(ll 1 & 0 0 & 1 )
Discuta as relações entre omega e B0. O que acontece se omega=2 muB B0 ?

Passo 1

O enunciado pede para modelar um sistema de dois níveis (spin ½) sob um campo magnético estático em z e um campo oscilante em x e obter as equações de Bloch e a evolução da matriz densidade. Vamos usar o formalismo de von Neumann, parametrizar ρ em termos do vetor de Bloch r e discutir o caso inicial ρ(0)=½I.

Passo 2

Aplicamos a equação de von Neumann:
drhodt = -ihbar[H,rho]
com
H = -muB B0,sigmaz - B1cos(omega t),sigmax
Parametrizando
rho = 12l(I + rxsigmax + rysigmay + rzsigmazr)
obtém-se, após usar $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k $,
[sigmai,sigmaj]=2iepsilonijksigmak
com d rdt = 2muBhbar, B( t) times r, e B(t) = (B1cosomega t,0,B0).

Passo 3

Para simplificar a resolução, passamos a um referencial girante em torno de z com frequência omega. Definimos
tilde r(t) = Rz(-omega t),r(t)
onde, em RWA (aproximação de torno giratório), surge um campo efetivo
Omegaeff = (,Omega1/2,,0,,De
com Omega0=2muBB0/hbar, Omega1=2B1/hbar, De. Nesse referencial, a equação de Bloch fica
dtilde rdt = Omegaeff times tilde r

Passo 4

Para a condição inicial rho(0)=tfrac12I segue r(0)=0. Como a equação de Bloch é homogênea em r, temos r(t)=0 para todo t, logo
rho(t)=12I
permanece constante no tempo.

Passo 5

A relação entre frequência do campo oscilante e o campo estático aparece no desvio De. Se omega=2muBB0/hbar (isto é, De), temos ressonância: em geral isso maximiza as oscilações de Rabi numa configuração escalonada, mas para o estado completamente misto inicial não há dinâmica (rémene 0).

Resposta

Para ρ(0)=½I a solução é trivial: ρ(t)=½I para todo t. Em ressonância (ω=2μ_BB_0/ℏ) o campo efetivo fica puramente no plano x e gera oscilações de Rabi, mas o estado misto total permanece inalterado.

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