Obtenha as equações de Bloch para um sistema de dois níveis cujo hamiltoniano possa ser escrito na forma:
sendo
um campo magnético constante aplicado na direção z e
um campo magnético variante no tempo aplicado na direção
.
Encontre a solução do sistema para a matriz densidade no instante inicial na forma:
Discuta as relações entre
e
. O que acontece se
?
Encontre a solução do sistema para a matriz densidade no instante inicial na forma:
Passo 1
O enunciado pede para modelar um sistema de dois níveis (spin ½) sob um campo magnético estático em z e um campo oscilante em x e obter as equações de Bloch e a evolução da matriz densidade. Vamos usar o formalismo de von Neumann, parametrizar ρ em termos do vetor de Bloch r e discutir o caso inicial ρ(0)=½I.
Passo 2
Aplicamos a equação de von Neumann:
com
Parametrizando
obtém-se, após usar $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k $,
com
e
.
Passo 3
Para simplificar a resolução, passamos a um referencial girante em torno de z com frequência
. Definimos
onde, em RWA (aproximação de torno giratório), surge um campo efetivo
com
. Nesse referencial, a equação de Bloch fica
Passo 4
Para a condição inicial
segue
. Como a equação de Bloch é homogênea em r, temos
para todo t, logo
permanece constante no tempo.
Passo 5
A relação entre frequência do campo oscilante e o campo estático aparece no desvio
. Se
(isto é,
), temos ressonância: em geral isso maximiza as oscilações de Rabi numa configuração escalonada, mas para o estado completamente misto inicial não há dinâmica (rémene 0).
Resposta
Para ρ(0)=½I a solução é trivial: ρ(t)=½I para todo t. Em ressonância (ω=2μ_BB_0/ℏ) o campo efetivo fica puramente no plano x e gera oscilações de Rabi, mas o estado misto total permanece inalterado.