14 Obtenha a equação de Liouville para a matriz densidade na versão de Schroedinger. Você pode utilizar
onde
é o operador unitário de evolução temporal,
é o hamiltoniano do sistema. A matriz densidade pode ser escrita em uma base completa na forma
com a condição
.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a equação de Liouville (ou equação de von Neumann) para a matriz densidade no picture de Schrödinger, usando o operador de evolução temporal
e sabendo que, em geral, a matriz densidade pode ser escrita como
. Vamos precisar usar a forma
e as derivadas de
e
.
Passo 2
Começamos escrevendo a matriz densidade num estado geral (ou mistura) no tempo
:
Para encontrar a equação de movimento, diferenciamos em relação a
Passo 3
Agora usamos as derivadas do operador de evolução:
Passo 4
Substituindo essas expressões em
:
Passo 5
Como
, ficamos com:
Passo 6
Portanto, escrevendo de forma mais simétrica, obtemos a equação de Liouville (ou von Neumann):
$$
i\hbar,\frac{d\rho}{dt}=[\hat H,\rho].$$