14 Obtenha a equação de Liouville para a matriz densidade na versão de Schroedinger. Você pode utilizar
|psi(t)rang<==U(t)|psi0rang<=
onde U(t)=e^-ihbar H t é o operador unitário de evolução temporal, H é o hamiltoniano do sistema. A matriz densidade pode ser escrita em uma base completa na forma
rho=summ, n wm n|mrang<=lang<= n|
com a condição Tr(rho)=summ wm m=1.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a equação de Liouville (ou equação de von Neumann) para a matriz densidade no picture de Schrödinger, usando o operador de evolução temporal U(t)=e^-tfracihbarhat H t e sabendo que, em geral, a matriz densidade pode ser escrita como rho=summ,nwmn|mrang<=lang<= n|. Vamos precisar usar a forma rho(t)=U(t)rho(0)U^dag>=r(t) e as derivadas de U(t) e U^dag>=r(t).

Passo 2

Começamos escrevendo a matriz densidade num estado geral (ou mistura) no tempo t:
rho(t)=U(t),rho(0),U^dag>=r(t)
Para encontrar a equação de movimento, diferenciamos em relação a t usando regra do produto:
drho(t)dt=dU(t)dt,rho(0),U^dag>=r(t)+U(t),rho(0),dU^dag>=r(t)dt

Passo 3

Agora usamos as derivadas do operador de evolução:
dU(t)dt=-ihbarhat H,U(t),
dU^dag>=r(t)dt=(dU(t)dt)^dag>=r=ihbarU^dag>=r(t),hat H

Passo 4

Substituindo essas expressões em drho/dt:
drhodt=-ihbarhat H,Urho(0)U^dag>=r+Urho(0)U^dag>=r,ihbarhat H

Passo 5

Como Urho(0)U^dag>=r=rho(t), ficamos com:
drhodt=-ihbar(hat H,rho(t)-rho(t),hat H)=-ihbar[hat H,rho(t)]

Passo 6

Portanto, escrevendo de forma mais simétrica, obtemos a equação de Liouville (ou von Neumann):
$$
i\hbar,\frac{d\rho}{dt}=[\hat H,\rho].$$

Resposta

ihbar,dfracdrhodt=[hat H,rho]

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