P 13.2. Considere a seguinte forma quadrática em R^2, representada em termos da base canónica por
Q(x)=x^2+4 x y+a y^2
onde a é um número real. Determine os valores de a para os quais Q é definida positiva. Indique uma forma quadrática diagonal correspondente, e uma matriz diagonalizante.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a forma quadrática
Q(x,y)=x^2+4xy+ay^2
em R^2, determinar os valores de a para os quais Q é definida positiva, encontrar uma forma quadrática diagonal equivalente e indicar uma matriz que diagonaliza Q por congruência. Vamos usar o critério de Sylvester e o método de completar quadrados.

Passo 2

Associamos a Q a matriz simétrica na base canónica
A = 1 & 2 2 & a
Pelo critério de Sylvester, Q é definida positiva se e somente se os menores principais forem todos estritamente positivos.

Passo 3

Calculamos os menores principais:
De<a1 = 1, De<a2 = det(A) = 1cdot a - 2cdot 2 = a - 4
Como De<a1=1>0 independe de a, a condição fica
De<a2>0 ;Longrightarrow; a-4>0 ;Longrightarrow; a>4

Passo 4

Para obter a forma diagonal por congruência, completamos quadrados em Q(x,y):
Q(x,y) = x^2 + 4xy + ay^2 = l(x+2yr)^2 + (a-4),y^2

Passo 5

Definimos as novas variáveis
Em coordenadas , a forma torna-se
que é diagonal. A mudança de base que faz

é dada por
e satisfaz
]

Resposta

Os valores de a para os quais Q é definida positiva são
a>4
Uma forma quadrática diagonal equivalente é
widetilde Q(u,v) = u^2 + (a-4),v^2,
e uma matriz que diagonaliza Q por congruência é
P = 1 & -2 [3pt] 0 & 1 ]

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