P 13.2. Considere a seguinte forma quadrática em , representada em termos da base canónica por
onde é um número real. Determine os valores de para os quais é definida positiva. Indique uma forma quadrática diagonal correspondente, e uma matriz diagonalizante.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a forma quadrática
em , determinar os valores de para os quais é definida positiva, encontrar uma forma quadrática diagonal equivalente e indicar uma matriz que diagonaliza por congruência. Vamos usar o critério de Sylvester e o método de completar quadrados.
Passo 2
Associamos a a matriz simétrica na base canónica
Pelo critério de Sylvester, Q é definida positiva se e somente se os menores principais forem todos estritamente positivos.
Passo 3
Calculamos os menores principais:
De<a1 = 1, De<a2 = det(A) = 1cdot a - 2cdot 2 = a - 4