Seja A=(lll2 & 0 & 3 3 & 5 & 1 1 & 0 & 3)
i) Ache o polinômio característico associado a matriz A.
ii) Considere A in M3(C) e calcule os seus autovalores e verifique se a matriz A é diagonalizável.
iii) Considere A in M3(R) e ache os autovalores de A e verifique se a matriz A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a matriz
A=2 & 0 & 33 & 5 & 11 & 0 & 3!:
i) obter o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I);
ii) em M3(C), calcular os autovalores e decidir se A é diagonalizável;
iii) em M3(R), fazer o mesmo.

Passo 2

Calculamos
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 0 & 3 3 & 5-lambda & 1 1 & 0 & 3-lambda
Expandindo pela segunda coluna (que tem dois zeros), vem
det(A-lambda I) =(2-lambda)l((5-lambda)(3-lambda)r) +3l(3cdot0-(5-lambda)cdot1r)
Ou seja,
det(A-lambda I) =(2-lambda)(5-lambda)(3-lambda)-3(5-lambda)

Passo 3

Fatorando (5-lambda), obtemos
det(A-lambda I) =(5-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-3r) =(5-lambda)(lambda^2-5lambda+3)
Portanto
p(lambda)=det(A-lambda I) =lambda^3-10lambda^2+28lambda-15

Passo 4

Os autovalores são as raízes de
(5-lambda)(lambda^2-5lambda+3)=0,
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lambda1=5, lambda2,3=5pmraiz25-122 =5pmraiz132
Como são três valores distintos, existem três autovetores LI e, em M3(C), A é diagonalizável.

Passo 5

Em M3(R) os mesmos autovalores aparecem e são todos reais e distintos, então A também é diagonalizável sobre os reais.

Resposta

(i) p(lambda)=lambda^3-10lambda^2+28lambda-15
(ii) Autovalores ,5,;tfrac5pmraiz132, todos distintos Rightarrow A é diagonalizável em C
(iii) Mesmos autovalores, todos reais e distintos Rightarrow A é diagonalizável em R

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