Considere as seguintes equações do movimento de uma partícula ocupando a posição (r(t)=(x(t), y(t), z(t),. (*) d rd t=omega times r, a=alpha times r+omega times(omega times r), alpha=d omegad t
Acima r^prime(t)=v e r^prime prime(t)=a são respetivamente a velocidade e a acelaração da partícula. Também omega é a sua velocidade angular.
Dado que r(t)=(t, t^2, t^3) calcule a, omega e alpha e avalie estas quantidades quando t=0 e t=1. )

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de movimento de uma partícula com posição
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,,t^2,,t^3)
e relaciona velocidade, aceleração e velocidade angular por
v = drdt = omegatimes r, a = d^2rdt^2 = alphatimes r + omegatimes(omegatimes r), alpha = domegadt
Aqui vamos:
  1. calcular v e a diretamente de r(t);
  2. extrair uma expressão para omega a partir de v=omegatimes r, escolhendo a solução mínima
    omega=(rtimes v)/|r|^2 (válida sempre que rneq0);
  3. diferenciar omega(t) para obter alpha(t);
  4. avaliar tudo em t=0 e t=1.

Passo 2

Calcular v e a diretamente de r(t).
Derivando componente a componente,
v(t) = r'(t) = l(1,;2t,;3t^2r),
a(t) = r''(t) = l(0,;2,;6tr)

Passo 3

Determinar omega resolvendo v=omegatimes r. A solução mínima (sem componente ao longo de r) é
omega(t) = r(t)times v(t)|r(t)|^2
Primeiro o produto vetorial:
rtimes v = det i&j&k t& t^2& t^3 1&2t&3t^2 = l(t^4,;-2t^3,;t^2r)
O quadrado da norma de r é
|r|^2 = t^2 + t^4 + t^6 = t^2l(1+t^2+t^4r)
Logo, para tneq0,
omega(t) = (t^4,,-2t^3,,t^2)t^2,(1+t^2+t^4) = l(t^2,,-2t,,1r)1+t^2+t^4

Passo 4

Calcular alpha(t)=omega'(t). Escrevendo
D(t)=1+t^2+t^4, omega(t)=l(t^2D,-2tD,1Dr),
derivamos cada componente usando quociente:
  1. omega1 = t^2/D:
omega1' = 2t,D - t^2,(2t+4t^3)D^2 = 2t,(1+t^2+t^4) -2t^3,(1+2t^2)D^2
  1. omega2 = -2t/D:
omega2' = -2,D +2t,(2t+4t^3)D^2
  1. omega3 = 1/D:
omega3' = -2t+4t^3D^2

Passo 5

Avaliar em t=0 e t=1.
Em t=0:
;r(0)=(0,0,0) faz omega indeterminado em v=omegatimes r.
Contudo a(0)=l(0,2,0r).
Logo
omega(0) e alpha(0) não podem ser definidos a partir de v=omegatimes r.
Em t=1:
r(1)=(1,1,1), v(1)=(1,2,3), a(1)=(0,2,6)
Para omega:
r(1)times v(1) = (1,-2,1), |r(1)|^2=3,
omega(1)=13(1,-2,1)
Para alpha(1), basta avaliar as derivadas do passo anterior em t=1:
omega1'(1)=0, omega2'(1)=tfrac23, omega3'(1)=-tfrac23,
alpha(1)=l(0,tfrac23,-tfrac23r)

Resposta

Em t=0:
a(0)=(0,2,0); omega(0) e alpha(0) não existem (posição na origem).
Em t=1:
a(1)=(0,2,6), omega(1)=l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r), alpha(1)=l(0,tfrac23,-tfrac23r)

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