Seja T(x, y)=(3 x-3 y, x+3 y). Então :
i) Encontre os autovalores de T e uma base para cada Vlambda.
ii) Ache uma base B^prime de R^2 tal que a matriz [T]B^prime seja diagonal.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (3x - 3y,; x + 3y),
e pede:
  1. Os autovalores lambda de T e uma base de cada espaço próprio Vlambda.
  2. Uma base B' de R^2 em que a matriz de T seja diagonal.
Conteúdo: diagonalização de operadores lineares. Para isso vamos precisar montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, achar suas raízes (autovalores) e, em seguida, os autovetores.

Passo 2

Na base canônica B = (1,0),(0,1) a matriz de T é
A = [T]B = 3 & -3 1 & 3 ,

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det!l(3-lambda & -31 & 3-lambdar) = (3-lambda)^2 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 12
As raízes desse polinômio são
lambda = 6 pm raiz36 - 482 = 3 pm iraiz3

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos .
  • Se , a primeira linha de Tomando , um autovetor correspondente é Logo
  • Se , análogo, obtemos

Passo 5

Note que lambda1 e lambda2 são não reais.
  • Em R^2 não existem autovalores reais, portanto não há base real que diagonalize T.
  • Se aceitarmos vetores em C^2, então a base B' = ,v1,,v2 torna a matriz diagonal: [T]B' = 3 + iraiz3 & 0 0 & 3 - iraiz3

Resposta

i) Os autovalores são
com
ii) Não existe base de que diagonalize . Em , uma base que diagonaliza é

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