(b) f(x)=lx^2, se x <= 1 2 x-1, se x>1.
(13) Dado a>0 e a neq 1, mostre que a derivada de f(x)=log a(x) é a função f^prime(x)=1x ln (a).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para base a>0 e aneq1, a função
f(x)=loga(x)
tem derivada
f'(x)=1x,ln(a)
O conteúdo principal aqui é usar a fórmula de mudança de base de logaritmo e a regra de derivação de ln(x).

Passo 2

Usamos a mudança de base para escrever loga(x) em função do logaritmo natural:
loga(x) =ln(x)ln(a),
já que ln(a) é constante (não depende de x).

Passo 3

Vamos derivar
f(x)=ln(x)ln(a)
Como ln(a) é constante, aplicamos a regra da constante fator:
f'(x) =1ln(a);ddxl[ln(x)r]

Passo 4

Sabemos que
ddxl[ln(x)r] =1x
Logo
f'(x) =1ln(a)cdot1x =1x,ln(a)

Resposta

f'(x)=1x,ln(a)

Exercícios relacionados