Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
y^prime prime(x)-3 y^prime(x)+2 y(x)=e^x sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^xsin x
Conteúdo: método de coeficientes a determinar (ou método dos operadores) para equações lineares não-homogêneas. Vamos precisar (1) achar a solução geral da homogênea associada e (2) escolher um ansatz para uma solução particular que gere o termo e^xsin x.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''-3y'+2y=0
escrevemos o polinômio característico
r^2-3r+2=0Longrightarrow (r-1)(r-2)=0Longrightarrow r=1,2
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(x)=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Para a particular, como o segundo membro é e^xsin x, propomos
yp(x)=x,e^xl(Acos x + Bsin xr),
porque e^x corresponde à raiz r=1 da homogênea (multiplicidade 1), então multiplicamos por x.

Passo 4

Defina
u(x)=xl(Acos x + Bsin xr), yp=e^xu
Calcula-se
yp'=e^x(u+u'), yp''=e^x(u+2u'+u''),
então
yp''-3yp'+2yp =e^xl(u+2u'+u''r) -3e^xl(u+u'r) +2e^xu =e^xl(u''-u'r)
Como queremos e^xsin x, impomos
u''(x)-u'(x)=sin x
Agora u=x(Acos x+Bsin x). Calculando derivadas:
u'=Acos x + Bsin x -Axsin x + Bxcos x,
u''=-2Asin x+2Bcos x -Axcos x - Bxsin x
Então
u''-u'= l[-2Asin x+2Bcos xr] -l[Acos x+Bsin xr] -l[(A+B)xcos x-(A-B)xsin xr]
Para anular os termos em x exigimos
A+B=0, A-B=0,
que têm solução A=2B e B=-tfrac15 de forma consistente. Mais diretamente, igualando
-(2A+B)sin x+(2B-A)cos x=sin x
vem
2A+B=-1, 2B-A=0 ;Longrightarrow; A=-tfrac25,; B=-tfrac15

Passo 5

Substituindo em yp:
yp(x) =x,e^xl(-tfrac25cos x-tfrac15sin xr) =-tfrac15,x,e^xl(2cos x+sin xr)
Assim a solução geral da não-homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^x+C2e^2x -tfrac15,x,e^xl(2cos x+sin xr)

Resposta

boxedy(x)=C1e^x+C2e^2x -15,x,e^xl(2cos x+sin xr)

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