Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método de coeficientes a determinar (ou método dos operadores) para equações lineares não-homogêneas. Vamos precisar (1) achar a solução geral da homogênea associada e (2) escolher um ansatz para uma solução particular que gere o termo
.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
escrevemos o polinômio característico
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para a particular, como o segundo membro é
, propomos
porque
corresponde à raiz
da homogênea (multiplicidade 1), então multiplicamos por
.
Passo 4
Defina
Calcula-se
então
Como queremos
, impomos
Agora
. Calculando derivadas:
Então
Para anular os termos em
exigimos
que têm solução
e
de forma consistente. Mais diretamente, igualando
vem
Passo 5
Substituindo em
:
Assim a solução geral da não-homogênea é