Find the unit tangent vector T(t) at the given point on the curve.
21. r(t)=lang<= t^3+1,3 t-5,4 / trang<=, (2,-2,4)

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva parametrizada
r(t)=lang<= t^3+1,;3t-5,;4/trang<=
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto (2,-2,4).
O que vamos precisar:
  1. Encontrar o parâmetro t0 tal que r(t0)=(2,-2,4).
  2. Calcular a derivada r'(t) e avaliá-la em t0.
  3. Normalizar esse vetor para obter T(t0).

Passo 2

Para achar t0, igualamos cada componente de r(t) a (2,-2,4):
t^3+1 = 2, 3t-5=-2, 4t=4
Da primeira vem t^3=1Rightarrow t=1. A segunda dá 3t=3Rightarrow t=1. A terceira dá t=1. Logo, t0=1.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=llang<= 3t^2,;3,;-4/t^2rrang<=
e avaliamos em t=1:
r'(1)=lang<= 3cdot1^2,;3,;-4/1^2rang<= =lang<= 3,,3,,-4rang<=

Passo 4

O comprimento de r'(1) é
l|r'(1)r| =raiz3^2+3^2+(-4)^2 =raiz9+9+16 =raiz34

Passo 5

Normalizando r'(1), obtemos o vetor tangente unitário
T(1) =r'(1)|r'(1)| =1raiz34lang<= 3,,3,,-4rang<=

Resposta

T(1) =1raiz34lang<= 3,,3,,-4rang<=

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