13 Demonstre que, em geral,
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar, usando a convenção de soma de Einstein, que
em geral. O conteúdo aqui é a manipulação de tensores com índices e o entendimento de índices livres versus índices dummies (repetidos).
Passo 2
Recordando a convenção de soma de Einstein: sempre que um índice aparece duas vezes em um mesmo termo, ele é somado (índice dummy); índices que aparecem apenas uma vez em um termo são índices livres, e então designam o tipo (covetor, vetor, escalar etc.) do objeto resultante.
Passo 3
Analisando o lado esquerdo
os índices
,
e
aparecem cada um exatamente duas vezes em todo o produto:
-
está em e em ; -
está em e em ; -
está em e em .
Logo, todos são índices dummies e se somam, resultando em um escalar (nenhum índice livre sobra).
Passo 4
Agora o primeiro termo do lado direito
tem
e
repetidos (somados), mas o índice
aparece apenas em
. Assim, sobra
como índice livre, e esse termo é um covetor de componente
, não um escalar.
Passo 5
O segundo termo do lado direito
tem
e
repetidos (somados), mas o índice
fica livre. Isso faz desse termo um covetor de componente
.
Passo 6
Como o primeiro termo à direita é um covetor de índice
e o segundo é um covetor de índice
, não faz sentido somá-los—eles nem são do mesmo tipo—muito menos igualá-los a um escalar, que é o que obtivemos no lado esquerdo.
Passo 7
Concluímos, portanto, que em geral não vale a identidade desejada, pois
- o LHS é um escalar (nenhum índice livre),
- enquanto o RHS seria uma soma de objetos com índices livres diferentes.
Resposta
Demonstrado que, por conta dos índices livres no lado direito, não há igualdade: