13 Demonstre que, em geral, ai j k(xi+yj) zk neq ai j k xi zk+ai j k yj zk.

Passo 1

O enunciado quer mostrar, usando a convenção de soma de Einstein, que
aijk(xi + yj)zk neq aijkxi zk + aijkyj zk
em geral. O conteúdo aqui é a manipulação de tensores com índices e o entendimento de índices livres versus índices dummies (repetidos).

Passo 2

Recordando a convenção de soma de Einstein: sempre que um índice aparece duas vezes em um mesmo termo, ele é somado (índice dummy); índices que aparecem apenas uma vez em um termo são índices livres, e então designam o tipo (covetor, vetor, escalar etc.) do objeto resultante.

Passo 3

Analisando o lado esquerdo
aijk(xi + yj)zk,
os índices i, j e k aparecem cada um exatamente duas vezes em todo o produto:
  • i está em aijk e em xi;
  • j está em aijk e em yj;
  • k está em aijk e em zk.
    Logo, todos são índices dummies e se somam, resultando em um escalar (nenhum índice livre sobra).

Passo 4

Agora o primeiro termo do lado direito
aijk,xi,zk
tem i e k repetidos (somados), mas o índice j aparece apenas em aijk. Assim, sobra j como índice livre, e esse termo é um covetor de componente j, não um escalar.

Passo 5

O segundo termo do lado direito
aijk,yj,zk
tem j e k repetidos (somados), mas o índice i fica livre. Isso faz desse termo um covetor de componente i.

Passo 6

Como o primeiro termo à direita é um covetor de índice j e o segundo é um covetor de índice i, não faz sentido somá-los—eles nem são do mesmo tipo—muito menos igualá-los a um escalar, que é o que obtivemos no lado esquerdo.

Passo 7

Concluímos, portanto, que em geral não vale a identidade desejada, pois
  • o LHS é um escalar (nenhum índice livre),
  • enquanto o RHS seria uma soma de objetos com índices livres diferentes.

Resposta

Demonstrado que, por conta dos índices livres no lado direito, não há igualdade:
aijk(xi + yj)zk neq aijkxi zk + aijkyj zkem >=ral

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