12 Sejam ai j=aj i constantes (elementos de uma matriz simétrica). Demonstre que
partial^2partial xk partial xl(ai j xi xj)=2 ak l

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a forma quadrática definida por
Q(x)=aijxi xj
com aij=aji e usando a convenção de somatório de Einstein, temos
partial^2 Qpartial xk,partial xl=2akl
Vamos usar a regra do produto para derivadas parciais e o delta de Kronecker
de<aij, que satisfaz
partial xipartial xj=de<aij

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada de Q em relação a xl. Aplicando a regra do produto sobre cada termo aijxi xj, obtemos
partial Qpartial xl =partialpartial xll(aijxi xjr) =aijl(partial xipartial xlxj + xipartial xjpartial xlr)
Usando partial xipartial xl=de<ail e partial xjpartial xl=de<ajl, isso vira
partial Qpartial xl =aij(de<ail,xj + xi,de<ajl) =aljxj + ai lxi

Passo 3

Agora note que, pela simetria ail=ali, podemos trocar índices no segundo termo:
ai lxi = alixi = aljxj
(é só renomear ito j). Logo
partial Qpartial xl =aljxj + aljxj =2,aljxj

Passo 4

Vamos então derivar esse resultado em relação a xk:
partial^2 Qpartial xk,partial xl =partialpartial xkl(2,aljxjr) =2,aljpartial xjpartial xk =2,alj,de<ajk

Passo 5

Finalmente, contraindo sobre j com de<ajk substitui-se j=k, ficando
partial^2 Qpartial xk,partial xl =2,alk
Pela simetria alk=akl, concluímos que
partial^2 Qpartial xk,partial xl =2,akl

Resposta

partial^2partial xkpartial xll(aijxi xjr)=2,akl

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