12 Sejam
constantes (elementos de uma matriz simétrica). Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a forma quadrática definida por
com
e usando a convenção de somatório de Einstein, temos
Vamos usar a regra do produto para derivadas parciais e o delta de Kronecker
, que satisfaz
Passo 2
Calculemos primeiro a derivada de
em relação a
. Aplicando a regra do produto sobre cada termo
, obtemos
Usando
e
, isso vira
Passo 3
Agora note que, pela simetria
, podemos trocar índices no segundo termo:
(é só renomear
). Logo
Passo 4
Vamos então derivar esse resultado em relação a
:
Passo 5
Finalmente, contraindo sobre
com
substitui-se
, ficando
Pela simetria
, concluímos que