(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado.
ddoty-t doty-y=0, t0=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação
ddot y - t,dot y - y = 0
por série de potências em torno de t0=0. O conteúdo aqui é método de séries de potências (ou série de Taylor) para EDOs ordinárias. Vamos supor
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
onde os an são constantes a determinar.

Passo 2

Calculamos as derivadas da série term-a-termo:
dot y(t)=sumn=1^inftyn,ant^,n-1,
ddot y(t)=sumn=2^inftyn(n-1),ant^,n-2

Passo 3

Substituímos essas expressões em ddot y - t,dot y - y=0:
sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2 ;-;tsumn=1^inftyn,ant^n-1 ;-;sumn=0^inftyant^n ;=;0

Passo 4

Reindexamos para ter sempre potência t^m com m>=0. No primeiro somatório, ponha m=n-2, então n=m+2:
summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,t^m ;-;sumn=1^inftyn,an,t^n ;-;sumn=0^inftyant^n ;=;0
Nas duas últimas somas o expoente já é t^n. Juntando-as:
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n ;-;sumn=0^infty(n+1),an,t^n ;=;0

Passo 5

Para cada n>=0 o coeficiente de t^n deve anular, daí
(n+2)(n+1),an+2 ;-; (n+1),an = 0 Longrightarrow an+2=ann+2

Passo 6

Essa recorrência separa índices pares e ímpares:
  • Para n=2k, a2k+2=a2k2k+2 ;Longrightarrow; a2k=a02^,k,k!
  • Para n=2k+1, a2k+3=a2k+12k+3 ;Longrightarrow; a2k+1=a11cdot3cdot5cdots(2k+1)

Passo 7

Logo, a solução geral em série é
y(t)=a0sumk=0^inftyt^2k2^k,k! ;+; a1sumk=0^inftyt^2k+11cdot3cdot5cdots(2k+1)
Note que a primeira soma é
sumk=0^infty(t^2)^k2^k,k! =exp!l(t^2/2r),
e a segunda soma define a segunda solução independente.

Resposta

boxed y(t) = C1,sumk=0^inftyt^2k2^k,k! ;+; C2,sumk=0^inftyt^2k+11cdot3cdot5cdots(2k+1) ,
onde C1=a0 e C2=a1 são constantes arbitrárias.

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