(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação
por série de potências em torno de
. O conteúdo aqui é método de séries de potências (ou série de Taylor) para EDOs ordinárias. Vamos supor
onde os
são constantes a determinar.
Passo 2
Calculamos as derivadas da série term-a-termo:
Passo 3
Substituímos essas expressões em
:
Passo 4
Reindexamos para ter sempre potência
com
. No primeiro somatório, ponha
, então
:
Nas duas últimas somas o expoente já é
. Juntando-as:
Passo 5
Para cada
o coeficiente de
deve anular, daí
Passo 6
Essa recorrência separa índices pares e ímpares:
- Para
, - Para
,
Passo 7
Logo, a solução geral em série é
Note que a primeira soma é
e a segunda soma define a segunda solução independente.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.