-13 Qual deve ser a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas paralelas com uma capacitância de 2 \mu \mathrm{~F} para que seja produzida uma corrente de deslocamento de 1,5 \mathrm{~A} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas paralelas com capacitância 2\\ \mu\mathrm{F} de forma que seja produzida uma corrente de deslocamento de 1,5\\ \mathrm{A}.
Informações dadas:
  • Capacitância: C = 2\\ \mu\mathrm{F} = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Corrente de deslocamento (igual à corrente que passa pelo circuito que alimenta o capacitor): i = 1,5\\ \mathrm{A}.
O que se pede:
  • A taxa de variação da diferença de potencial entre as placas, isto é, \dfrac{dV}{dt}, em \mathrm{V/s}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula direta que vamos usar.
Em circuitos com capacitor, a corrente instantânea que atravessa o capacitor está relacionada à taxa de variação da tensão por cima do capacitor pela lei bem conhecida:
i = C\,\frac{dV}{dt}.
Aqui:
  • i é a corrente elétrica (no SI, em ampères, \mathrm{A});
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F});
  • \dfrac{dV}{dt} é a derivada temporal da diferença de potencial V entre as placas (em volts por segundo, \mathrm{V/s}).
Essa relação é suficiente para resolver o problema rapidamente.

Passo 3

Breve explicação física (didática, sem pular etapas) do porquê essa fórmula vale.
  • Um capacitor armazena carga q relacionada à tensão por q = C\,V. Aqui q é a carga nas placas (em coulombs).
  • Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t obtemos:
\frac{dq}{dt} = C\,\frac{dV}{dt},
pois C é constante no problema (capacitância fixa).
  • A corrente elétrica é definida como a taxa de variação da carga: i = \dfrac{dq}{dt}. Substituindo obtemos diretamente
i = C\,\frac{dV}{dt}.
  • Em eletrodinâmica, a mesma corrente aparece como corrente de deslocamento no espaço entre as placas; portanto é correto igualar a corrente fornecida ao circuito à expressão acima.

Passo 4

Isolando a taxa \dfrac{dV}{dt} da fórmula:
\frac{dV}{dt}=\frac{i}{C}.
Vamos usar essa expressão com os valores fornecidos.

Passo 5

Substituição numérica e contas passo a passo.
Primeiro escrevo os valores em notação compatível:
i = 1,5\\ \mathrm{A},\qquad C = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Agora computo:
\frac{dV}{dt}=\frac{1,5}{2\times10^{-6}}\\ \mathrm{V/s}.
Dividindo 1,5 por 2 0,75, e dividindo por 10^{-6} equivale a multiplicar por 10^{6}. Portanto
\frac{dV}{dt}=0,75\times10^{6}\\ \mathrm{V/s}.
Escrevendo em forma padrão:
\frac{dV}{dt}=7,5\times10^{5}\\ \mathrm{V/s}.

Passo 6

Verificação de unidades e interpretação rápida.
  • Unidade: \dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{F}}=\dfrac{\mathrm{C/s}}{\mathrm{C/V}}=\mathrm{V/s}. Portanto a unidade está coerente.
  • Interpretação: para manter uma corrente de 1,5\\ \mathrm{A} num capacitor tão pequeno, a tensão entre as placas precisa estar mudando muito rápido, da ordem de centenas de milhares de volts por segundo.

Resposta

7,5\times10^{5}\\ \mathrm{V/s}

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