-13 Qual deve ser a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas paralelas com uma capacitância de
para que seja produzida uma corrente de deslocamento de
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas paralelas com capacitância
de forma que seja produzida uma corrente de deslocamento de
.
Informações dadas:
- Capacitância:
. - Corrente de deslocamento (igual à corrente que passa pelo circuito que alimenta o capacitor):
.
O que se pede:
- A taxa de variação da diferença de potencial entre as placas, isto é,
, em .
Passo 2
Conceito básico e fórmula direta que vamos usar.
Em circuitos com capacitor, a corrente instantânea que atravessa o capacitor está relacionada à taxa de variação da tensão por cima do capacitor pela lei bem conhecida:
Aqui:
-
é a corrente elétrica (no SI, em ampères, ); -
é a capacitância (em farads, ); -
é a derivada temporal da diferença de potencial entre as placas (em volts por segundo, ).
Essa relação é suficiente para resolver o problema rapidamente.
Passo 3
Breve explicação física (didática, sem pular etapas) do porquê essa fórmula vale.
- Um capacitor armazena carga
relacionada à tensão por . Aqui é a carga nas placas (em coulombs). - Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
obtemos:
pois
é constante no problema (capacitância fixa).
- A corrente elétrica é definida como a taxa de variação da carga:
. Substituindo obtemos diretamente
- Em eletrodinâmica, a mesma corrente aparece como corrente de deslocamento no espaço entre as placas; portanto é correto igualar a corrente fornecida ao circuito à expressão acima.
Passo 4
Isolando a taxa
da fórmula:
Vamos usar essa expressão com os valores fornecidos.
Passo 5
Substituição numérica e contas passo a passo.
Primeiro escrevo os valores em notação compatível:
Agora computo:
Dividindo
por
dá
, e dividindo por
equivale a multiplicar por
. Portanto
Escrevendo em forma padrão:
Passo 6
Verificação de unidades e interpretação rápida.
- Unidade:
. Portanto a unidade está coerente. - Interpretação: para manter uma corrente de
num capacitor tão pequeno, a tensão entre as placas precisa estar mudando muito rápido, da ordem de centenas de milhares de volts por segundo.