Uma onda eletromagnética não polarizada incide sobre uma interface arvidro ( \mathrm{n}_{\text {vi }{ }_{\text {ro }}}{ }^{\mathrm{d}}=1.52 ) com ângulo igual ao ângulo de Brewster.
a) Calcule o ângulo de Brewster (Resp: 56.66^{\circ} )
b) Determine o coeficiente de reflexão para a componente paralela ao plano de incidência (Resp: 0)
c) Qual a porcentagem de potência refletida para luz natural incidente? (Resp: 7.,35%)

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética não polarizada incidindo do ar sobre vidro com índice de refração do vidro \mathrm{n}_{\text{vidro}}=1{,}52. O feixe incide com o ângulo igual ao ângulo de Brewster. O que se pede:
  • (a) calcular o ângulo de Brewster;
  • (b) determinar o coeficiente de reflexão para a componente paralela ao plano de incidência (ou seja, r_{\parallel});
  • (c) calcular a porcentagem de potência refletida para luz natural (não polarizada) incidente.
Informações importantes dadas:
  • índice do meio de incidência (ar): \mathrm{n}_1=1 (assumido);
  • índice do meio de transmissão (vidro): \mathrm{n}_2=1{,}52;
  • incidência no ângulo de Brewster (condição especial onde r_{\parallel}=0 — vamos provar e usar isso).

Passo 2

Entender o que é o ângulo de Brewster e como calculá-lo (aula rápida e passo a passo).
  • Lembrete: a lei de Snell diz que, para um raio que vai do meio 1 para o meio 2,
\mathrm{n}_1\sin\theta_i=\mathrm{n}_2\sin\theta_t,
onde \theta_i é o ângulo de incidência e \theta_t é o ângulo de refração (ambos medidos à partir da normal).
  • Definição prática do ângulo de Brewster: é o ângulo de incidência \theta_B tal que a componente do campo elétrico paralela ao plano de incidência tem coeficiente de reflexão igual a zero ( r_{\parallel}=0). Geometricamente e a partir das fórmulas de Fresnel, isso ocorre quando o raio refletido e o raio refratado são perpendiculares, ou seja,
\theta_B+\theta_t=90^\circ.
  • Usando essa condição com a lei de Snell, escrevemos \sin\theta_t=\cos\theta_B. Então da lei de Snell:
\mathrm{n}_1\sin\theta_B=\mathrm{n}_2\sin\theta_t=\mathrm{n}_2\cos\theta_B.
  • Isolando \tan\theta_B obtemos a fórmula prática do ângulo de Brewster:
\tan\theta_B=\frac{\mathrm{n}_2}{\mathrm{n}_1}.
Aqui: \mathrm{n}_1 é o índice do meio de onde a luz vem (ar), \mathrm{n}_2 o índice do meio transmitido (vidro). Essa fórmula é válida quando a incidência é do meio 1 para o meio 2.

Passo 3

Calcular numericamente o ângulo de Brewster para os índices dados.
  • Com \mathrm{n}_1=1 e \mathrm{n}_2=1{,}52, tem-se
\tan\theta_B=\frac{1{,}52}{1}=1{,}52.
  • Logo
\theta_B=\arctan(1{,}52).
  • Avaliando numericamente (conversão para graus):
\theta_B\approx 56{,}66^\circ.
Comentário curto de incentivo: beleza — já temos (a) prontinho!

Passo 4

Mostrar por que o coeficiente de reflexão paralelo vale zero no ângulo de Brewster (aula sobre Fresnel, passo a passo).
  • Fórmula de Fresnel para a amplitude de reflexão da polarização paralela (expressão comum):
r_{\parallel}=\frac{\tan(\theta_i-\theta_t)}{\tan(\theta_i+\theta_t)}.
  • No ângulo de Brewster vale \theta_i=\theta_B e \theta_B+\theta_t=90^\circ. Então o denominador é \tan(90^\circ), que diverge, portanto a fração tende a zero:
r_{\parallel}=0\quad\text{quando}\quad \theta_i=\theta_B.
  • Conclusão: o coeficiente de reflexão (amplitude) para a componente paralela ao plano de incidência é
r_{\parallel}=0.

Passo 5

Calcular a fração de potência refletida para luz natural (não polarizada) — explicando como se conta potência das polarizações.
  • Para luz não polarizada, a intensidade incidente divide-se igualmente entre as duas polarizações (perpendicular “s” e paralela “p”). A refletância (fração de potência refletida) para luz não polarizada é a média das refletâncias para cada polarização:
R_{\text{não-polarizada}}=\frac{R_s+R_p}{2},ã
onde R_s=|r_s|^2 e R_p=|r_{\parallel}|^2.
  • No ângulo de Brewster já sabemos que r_{\parallel}=0, logo R_p=0 e
R_{\text{não-polarizada}}=\frac{R_s}{2}.ã
  • Agora precisamos de R_s. Uma forma útil de expressar R_s é a forma trigonométrica de Fresnel:
R_s=\sin^2(\theta_i-\theta_t)\big/\sin^2(\theta_i+\theta_t).
No ângulo de Brewster temos \theta_i+\theta_t=90^\circ e portanto \sin(\theta_i+\theta_t)=1. Assim
R_s=\sin^2(\theta_i-\theta_t).
  • Como \theta_t=90^\circ-\theta_B em Brewster, temos \theta_i-\theta_t=2\theta_B-90^\circ. Logo
R_s=\sin^2(2\theta_B-90^\circ)=\cos^2(2\theta_B).
  • Podemos escrever \cos(2\theta_B) em função de \tan\theta_B usando a identidade
\cos(2\theta)=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}.
Usando \tan\theta_B=\dfrac{\mathrm{n}_2}{\mathrm{n}_1}=\mathrm{n}_2 (pois \mathrm{n}_1=1), obtemos
\cos(2\theta_B)=\frac{1-\mathrm{n}_2^2}{1+\mathrm{n}_2^2}.
  • Portanto a refletância para luz não polarizada fica
R_{\text{não-polarizada}}=\frac{1}{2}\cos^2(2\theta_B)=\frac{1}{2}\left(\frac{1-\mathrm{n}_2^2}{1+\mathrm{n}_2^2}\right)^{\!2}.ã

Passo 6

Avaliar numericamente a expressão obtida para \mathrm{n}_2=1{,}52.
  • Primeiro calculemos \mathrm{n}_2^2:
\mathrm{n}_2^2=(1{,}52)^2=2{,}3104.
  • Então
\frac{1-\mathrm{n}_2^2}{1+\mathrm{n}_2^2}=\frac{1-2{,}3104}{1+2{,}3104}=\frac{-1{,}3104}{3{,}3104}\approx -0{,}3957.
  • Quadrando e dividindo por 2:
R_{\text{não-polarizada}}=\frac{1}{2}\times(-0{,}3957)^2 \approx \frac{1}{2}\times 0{,}1566\approx 0{,}0783.ã
  • Convertendo em porcentagem:
R_{\text{não-polarizada}}\approx 7{,}83\%.ã
Pequeno comentário motivador: ufa — a conta mostra que, mesmo no ângulo de Brewster onde a componente paralela não reflete, ainda resta cerca de 7{,}8\% de potência refletida por causa da componente perpendicular.

Resposta

\theta_B=56{,}66^\circ
r_{\parallel}=0
R_{\text{não-polarizada}}\approx 7{,}83\%ã

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