Uma LT apresenta os parâmetros R=0,1
. Note-se que a linha está imersa num meio de condutividade
, de constante dielétrica
e que não possui propriedades magnéticas. A frequência de operação é elevada (
). Considere que a linha se estende na direção "
" e que a corrente em sua origem (
), vale
.
(a) Calcule V em Z
(expressão).
(b) Considere agora que em
, a resistência longitudinal da linha mude para
. Nesse caso, a tensão calculada anteriormente (no item “a”) passa a ser considerada como a onda de tensão incidente quando a mesma atinge o ponto
. Calcule:
(b1) a onda de corrente em
(b2) a onda de tensão TOTAL em
(a) Calcule V em Z
(b) Considere agora que em
(b1) a onda de corrente em
(b2) a onda de tensão TOTAL em
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
- Parâmetros da linha (para z < 4 m, inicialmente):
e . - Em
a resistência longitudinal muda para (o restante dos parâmetros da linha permanece igual ao meio). - Meio ao redor da linha: condutividade
, constante dielétrica . Não há propriedades magnéticas extras (logo ). - Frequência
. Logo . - Corrente na origem:
Perguntas:
(a) Calcular a tensão em (expressão).
(b) Supondo que a tensão obtida em (a) seja a onda incidente ao alcançar (ou seja: a amplitude/fase naquele instante servem como a onda incidente), calcular:
(b1) a onda de corrente em ;
(b2) a onda de tensão TOTAL em .
(a) Calcular a tensão em
(b) Supondo que a tensão obtida em (a) seja a onda incidente ao alcançar
(b1) a onda de corrente em
(b2) a onda de tensão TOTAL em
Informações relevantes extraídas do enunciado usadas depois:
-
com . -
. - Usaremos a teoria da linha de transmissão TEM com impedância característica
e constante de propagação , onde e .
Passo 2
Resumo rápido da teoria necessária (didático e sem pular passos):
- Para uma linha com parâmetros por unidade de comprimento
e excitada em frequência angular , as grandezas por unidade de comprimento complexas são:
- A impedância característica (complexa) é
Ela relaciona fasorialmente as amplitudes das ondas via
para onda progressiva no sentido
(com sinal trocado para onda no sentido
, ver fórmula geral abaixo).
- A constante de propagação é
onde
é a atenuação (Np/m) e
a constante de fase (rad/m). Para uma onda progressiva complexa no sentido
,
Para uma onda que viaja no sentido
(onda refletida),
- Em pontos de descontinuidade de
entre duas seções 1 e 2, o coeficiente de reflexão (para a onda de tensão vindo da seção 1 em direção à seção 2) é
e o coeficiente de transmissão (tensão transmitida na seção 2, relativo à tensão incidente na seção 1) é
- Para trabalhar numericamente precisamos de
e . Para um modo TEM em um meio homogêneo vale e . A partir dessas relações podemos tomar (consistemente com TEM)
de modo que
e
. Isso simplifica os cálculos e é compatível com a determinação de
e
usando os valores físicos do meio (a relação fundamental entre
e
fica explícita). (Obs.: em problemas de linha real a geometria muda
e
individualmente, mas para as relações de fase/impedância TEM basta conservar as relações acima; aqui o enunciado dá apenas propriedades do meio e pede resultados macroscópicos, então esse procedimento é o caminho prático.)
Passo 3
Calcular constantes do meio numéricas:
- Permissividade:
- Permeabilidade:
- Velocidade de fase (usada indiretamente):
- Constante de fase (aproximação sem perdas):
(Posteriormente calcularemos o
mais preciso incluindo
e
.)
- Impedância característica “sem perdas” (intrínseca do meio):
Passo 4
Escolha de
e
coerentes (para uso nas fórmulas com
e
):
Com isso:
Passo 5
Calcular
e
nas duas regiões (região 1:
; região 2:
). Primeiro para região 1:
Para região 2 (somente
mudou):
Passo 6
Calcular impedâncias características complexas
e
e constantes de propagação
.
- Primeiro calculamos
. Fazendo a divisão complexa e a raiz quadrada (cálculo numérico passo a passo, mostrado de forma resumida aqui), obtém‑se:
com módulo
e fase
.
- Para a região 2:
com módulo quase igual e fase muito próxima à de
. A diferença é pequena (os termos resistivos são pequenos frente a
e
), portanto o salto de
em
será pequeno.
- Agora as constantes de propagação via
. Fazendo a multiplicação complexa e a raiz quadrada obtemos numericamente:
Observações:
é relativamente grande devido ao
relativamente alto;
está na faixa esperada (ordem de
com
).
Passo 7
Relação entre fasores: se a corrente na origem é
, o fasor de corrente (adotando referência de fase zero) é
(amplitude em A). Para uma onda incidente na origem (onda progressiva na direção +z) a tensão fasorial incidente é
Voltando ao domínio do tempo, a tensão em
(onda incidente) é
ou, escrevendo explicitamente a expressão senoidal (usando o valor aproximado de
real dominante),
onde usei o valor aproximado
para dar uma forma simples. (Forma exata em fasor:
.)
Obs.: a forma exata fasorial (útil para contas posteriores) é
Passo 8
No ponto
existe descontinuidade entre as impedâncias
e
. O coeficiente de reflexão para tensão (onda vindo da região 1 em direção à região 2) é
Com os valores numéricos calculados
ou seja,
(muito pequeno). O coeficiente de transmissão de tensão é
Portanto quase toda a onda que chega a
é transmitida, apenas uma fração pequena é refletida.
Passo 9
Procedimento e fórmula:
- A onda incidente no
tem fasor . - Ao propagar de
até na região 1 a amplitude é multiplicada por : . - Na descontinuidade, a parte transmitida (para a região 2) é
. - Essa onda transmitida ao ir de
até sofre novo fator . - A corrente correspondente em
(onda progressiva na região 2) é
Unindo tudo:
Substituindo
e usando
e
(diferenças muito pequenas), simplifica-se fortemente:
Voltando ao domínio do tempo (tomando a parte imaginária/senoidal conforme a definição inicial), a expressão em tempo real é
Agora o valor numérico: usamos
e
. Então
e
Portanto o fator de atenuação é
. Multiplicando pela amplitude
A:
ou seja, cerca de
de amplitude (note que a atenuação é muito forte por causa do termo
e do comprimento total percorrido).
Passo 10
Raciocínio:
- A porção refletida na descontinuidade (em
) tem fasor
- Essa onda refletida viaja para a esquerda (sentido
) desde até , distância ; ao chegar a seu fasor vale
- No enunciado não foi indicada nenhuma outra fonte de reflexões à esquerda (por exemplo, terminação em
não foi dada), portanto a tensão TOTAL em é, no cenário considerado, essencialmente a tensão da onda refletida que passou por 10 m (4 m ida + 6 m volta), assumindo que inicialmente não havia outra onda à esquerda. Assim a tensão total (no domínio do tempo) é a real da expressão fasorial:
Substituindo valores numéricos:
,
, e
. Logo o fator
. Multiplicando:
A fase é dada por
. Como
foi tomado com fase zero, a fase fica
.
Portanto a expressão temporal aproximada é
onde
(numérico
, mas o valor absoluto da tensão é insignificante — ordem
).
Interpretando: o termo é praticamente zero na prática — a onda refletida torna a tensão em
desprezível por causa da atenuação enorme ao longo do percurso e do pequeno coeficiente de reflexão.
Resposta
(a)
(b1)
(b2)
(valor efetivamente desprezível).