Uma LT apresenta os parâmetros R=0,1 \Omega / \mathrm{m} \mathrm{e} \mathrm{G}=0,05 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Note-se que a linha está imersa num meio de condutividade \sigma=4,53 \times 10^{-3} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, de constante dielétrica \varepsilon_{\mathrm{r}}=10,34 e que não possui propriedades magnéticas. A frequência de operação é elevada ( \mathrm{f}=10^{8} \mathrm{~Hz} ). Considere que a linha se estende na direção " Z " e que a corrente em sua origem ( z=0 ), vale I=100 \operatorname{sen}\left(2 \pi \cdot 10^{8} \cdot t\right) A.
(a) Calcule V em Z =0 (expressão).
(b) Considere agora que em \mathrm{z}=4 \mathrm{~m}, a resistência longitudinal da linha mude para \mathrm{R}=1 \Omega / \mathrm{m}. Nesse caso, a tensão calculada anteriormente (no item “a”) passa a ser considerada como a onda de tensão incidente quando a mesma atinge o ponto \mathrm{z}=0. Calcule:
(b1) a onda de corrente em \mathrm{z}=6 \mathrm{~m}
(b2) a onda de tensão TOTAL em \mathrm{z}=-2 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
  • Parâmetros da linha (para z < 4 m, inicialmente): R_1=0,1\\ \Omega/\mathrm{m} e G=0,05\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
  • Em z=4\\ \mathrm{m} a resistência longitudinal muda para R_2=1\\ \Omega/\mathrm{m} (o restante dos parâmetros da linha permanece igual ao meio).
  • Meio ao redor da linha: condutividade \sigma=4{,}53\times10^{-3}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}, constante dielétrica \varepsilon_r=10{,}34. Não há propriedades magnéticas extras (logo \mu=\mu_0).
  • Frequência f=10^{8}\\ \mathrm{Hz}. Logo \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Corrente na origem: \;I(0,t)=100\sin(2\pi\cdot10^{8}t)\\ \mathrm{A}.
Perguntas:
(a) Calcular a tensão em z=0 (expressão).
(b) Supondo que a tensão obtida em (a) seja a onda incidente ao alcançar z=0 (ou seja: a amplitude/fase naquele instante servem como a onda incidente), calcular:
(b1) a onda de corrente em z=6\\ \mathrm{m};
(b2) a onda de tensão TOTAL em z=-2\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes extraídas do enunciado usadas depois:
  • \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r com \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu = \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Usaremos a teoria da linha de transmissão TEM com impedância característica \,Z_c=\sqrt{\dfrac{Z'}{Y'}} e constante de propagação \gamma=\sqrt{Z'Y'}, onde Z'=R+j\omega L e Y'=G+j\omega C.

Passo 2

Resumo rápido da teoria necessária (didático e sem pular passos):
  • Para uma linha com parâmetros por unidade de comprimento R,\\ L,\\ G,\\ C e excitada em frequência angular \omega, as grandezas por unidade de comprimento complexas são:
Z' = R + j\omega L,\qquad Y' = G + j\omega C.
  • A impedância característica (complexa) é
Z_c=\sqrt{\dfrac{Z'}{Y'}}.
Ela relaciona fasorialmente as amplitudes das ondas via \tilde V = Z_c \tilde I para onda progressiva no sentido +z (com sinal trocado para onda no sentido -z, ver fórmula geral abaixo).
  • A constante de propagação é
\gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{Z'Y'},
onde \alpha é a atenuação (Np/m) e \beta a constante de fase (rad/m). Para uma onda progressiva complexa no sentido +z,
\tilde V^+(z)=\tilde V^+(0)e^{-\gamma z},\qquad \tilde I^+(z)=\frac{1}{Z_c}\,\tilde V^+(0)e^{-\gamma z}.
Para uma onda que viaja no sentido -z (onda refletida),
\tilde V^-(z)=\tilde V^-(0)e^{+\gamma z},\qquad \tilde I^-(z)=-\frac{1}{Z_c}\,\tilde V^-(0)e^{+\gamma z}.
  • Em pontos de descontinuidade de Z_c entre duas seções 1 e 2, o coeficiente de reflexão (para a onda de tensão vindo da seção 1 em direção à seção 2) é
\Gamma=\frac{Z_{c2}-Z_{c1}}{Z_{c2}+Z_{c1}},
e o coeficiente de transmissão (tensão transmitida na seção 2, relativo à tensão incidente na seção 1) é
T=\frac{2\,Z_{c2}}{Z_{c1}+Z_{c2}}.
  • Para trabalhar numericamente precisamos de L e C. Para um modo TEM em um meio homogêneo vale v=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} e Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}. A partir dessas relações podemos tomar (consistemente com TEM)
L=\mu,\qquad C=\varepsilon,
de modo que LC=\mu\varepsilon e \sqrt{L/C}=\sqrt{\mu/\varepsilon}. Isso simplifica os cálculos e é compatível com a determinação de \gamma e Z_c usando os valores físicos do meio (a relação fundamental entre L,C e \mu,\varepsilon fica explícita). (Obs.: em problemas de linha real a geometria muda L e C individualmente, mas para as relações de fase/impedância TEM basta conservar as relações acima; aqui o enunciado dá apenas propriedades do meio e pede resultados macroscópicos, então esse procedimento é o caminho prático.)

Passo 3

Calcular constantes do meio numéricas:
  • Permissividade:
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r = 8{,}854\times10^{-12}\cdot 10{,}34 =9{,}1559\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  • Permeabilidade:
\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}=1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Velocidade de fase (usada indiretamente):
\sqrt{\mu\varepsilon} \approx 1{,}0729\times10^{-8}\\ \mathrm{s/m}.
  • Constante de fase (aproximação sem perdas):
\beta_0=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi\cdot10^{8}\cdot 1{,}0729\times10^{-8}\approx 6{,}74\\ \mathrm{rad/m}.
(Posteriormente calcularemos o \beta mais preciso incluindo R e G.)
  • Impedância característica “sem perdas” (intrínseca do meio):
Z_0=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{1{,}256637\times10^{-6}}{9{,}1559\times10^{-11}}}\approx 117{,}3\\ \Omega.

Passo 4

Escolha de L e C coerentes (para uso nas fórmulas com Z' e Y'):
L=\mu=1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m},\qquad C=\varepsilon=9{,}1559\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Com isso:
\omega L = 2\pi\cdot10^{8}\cdot 1{,}256637\times10^{-6}\approx 789{,}6\\ \Omega/\mathrm{m},
\omega C = 2\pi\cdot10^{8}\cdot 9{,}1559\times10^{-11}\approx 0{,}05754\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular Z' e Y' nas duas regiões (região 1: R_1=0{,}1; região 2: R_2=1). Primeiro para região 1:
Z'_1 = R_1 + j\omega L = 0{,}1 + j\,789{,}6\\ \Omega/\mathrm{m},
Y'_1 = G + j\omega C = 0{,}05 + j\,0{,}05754\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
Para região 2 (somente R mudou):
Z'_2 = R_2 + j\omega L = 1 + j\,789{,}6\\ \Omega/\mathrm{m},
Y'_2 = G + j\omega C = 0{,}05 + j\,0{,}05754\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular impedâncias características complexas Z_{c1} e Z_{c2} e constantes de propagação \gamma_1,\gamma_2.
  • Primeiro calculamos Z_{c1}=\sqrt{Z'_1/Y'_1}. Fazendo a divisão complexa e a raiz quadrada (cálculo numérico passo a passo, mostrado de forma resumida aqui), obtém‑se:
Z_{c1}\approx 94{,}9 + j\,37{,}0\\ \Omega,
com módulo \lvert Z_{c1}\rvert\approx101{,}8\\ \Omega e fase \angle Z_{c1}\approx 21^\circ.
  • Para a região 2:
Z_{c2}\approx 95{,}2 + j\,36{,}5\\ \Omega,
com módulo quase igual e fase muito próxima à de Z_{c1}. A diferença é pequena (os termos resistivos são pequenos frente a j\omega L e j\omega C), portanto o salto de Z_c em z=4 será pequeno.
  • Agora as constantes de propagação via \gamma_i=\sqrt{Z'_i Y'_i}. Fazendo a multiplicação complexa e a raiz quadrada obtemos numericamente:
\gamma_1=\alpha_1+j\beta_1\approx (2{,}71) + j(7{,}27)\\ \text{(Np/m + j rad/m)},
\gamma_2=\alpha_2+j\beta_2\approx (2{,}73) + j(7{,}25)\\ \text{(Np/m + j rad/m)}.
Observações: \alpha é relativamente grande devido ao G relativamente alto; \beta está na faixa esperada (ordem de 2\pi/\lambda com \lambda\approx0{,}9\\ \mathrm{m}).

Passo 7

Relação entre fasores: se a corrente na origem é I(0,t)=100\sin(\omega t), o fasor de corrente (adotando referência de fase zero) é \tilde I(0)=100\angle 0 (amplitude em A). Para uma onda incidente na origem (onda progressiva na direção +z) a tensão fasorial incidente é
\tilde V_{\text{inc}}(0)=Z_{c1}\,\tilde I(0).
Voltando ao domínio do tempo, a tensão em z=0 (onda incidente) é
\boxed{\;V(0,t)=\Re\{Z_{c1}\cdot 100\,e^{j\omega t}\}\;}
ou, escrevendo explicitamente a expressão senoidal (usando o valor aproximado de Z_{c1} real dominante),
\boxed{\;V(0,t)\approx 11730\\ \sin(2\pi\cdot10^{8}t)\\ \mathrm{V} \;}
onde usei o valor aproximado Z_0\approx 117{,}3\\ \Omega para dar uma forma simples. (Forma exata em fasor: \tilde V(0)= (94{,}9 + j37{,}0)\cdot 100.)
Obs.: a forma exata fasorial (útil para contas posteriores) é
\tilde V(0) = Z_{c1}\cdot 100\angle 0\\ \text{V}.

Passo 8

No ponto z=4\\ \mathrm{m} existe descontinuidade entre as impedâncias Z_{c1} e Z_{c2}. O coeficiente de reflexão para tensão (onda vindo da região 1 em direção à região 2) é
\Gamma=\frac{Z_{c2}-Z_{c1}}{Z_{c2}+Z_{c1}}.
Com os valores numéricos calculados
\Gamma\approx 0{,}0030\angle(-79^\circ),
ou seja, \lvert\Gamma\rvert\approx 3{,}0\times10^{-3} (muito pequeno). O coeficiente de transmissão de tensão é
T=\frac{2Z_{c2}}{Z_{c1}+Z_{c2}}\approx 0{,}997\angle\varepsilon\approx 1\\ (\text{praticamente }1).
Portanto quase toda a onda que chega a z=4 é transmitida, apenas uma fração pequena é refletida.

Passo 9

Procedimento e fórmula:
  • A onda incidente no z=0 tem fasor \tilde V_{\text{inc}}(0)=Z_{c1}\cdot100.
  • Ao propagar de z=0 até z=4 na região 1 a amplitude é multiplicada por e^{-\gamma_1\cdot 4}: \tilde V_{\text{inc}}(4)=\tilde V_{\text{inc}}(0)\,e^{-\gamma_1 4}.
  • Na descontinuidade, a parte transmitida (para a região 2) é \tilde V_{\text{tr}}(4^+)=T\cdot\tilde V_{\text{inc}}(4).
  • Essa onda transmitida ao ir de z=4 até z=6 sofre novo fator e^{-\gamma_2(6-4)}=e^{-\gamma_2\cdot 2}.
  • A corrente correspondente em z=6 (onda progressiva na região 2) é \tilde I(6)=\dfrac{1}{Z_{c2}}\,\tilde V_{\text{tr}}(4^+)\,e^{-\gamma_2\cdot 2}.
Unindo tudo:
\tilde I(6)=\frac{1}{Z_{c2}}\;T\; \tilde V_{\text{inc}}(0)\; e^{-\gamma_1\cdot 4}\; e^{-\gamma_2\cdot 2}.
Substituindo \tilde V_{\text{inc}}(0)=Z_{c1}\cdot 100 e usando T\approx1 e Z_{c1}\approx Z_{c2} (diferenças muito pequenas), simplifica-se fortemente:
\tilde I(6)\approx 100\; e^{-(\gamma_1\cdot 4+\gamma_2\cdot 2)}.
Voltando ao domínio do tempo (tomando a parte imaginária/senoidal conforme a definição inicial), a expressão em tempo real é
\boxed{\,I(6,t)\approx 100\,e^{-(\alpha_1\cdot 4+\alpha_2\cdot 2)}\sin\!\big(2\pi\cdot10^{8}t -(\beta_1\cdot 4+\beta_2\cdot 2)\big)\\ \mathrm{A}\,}
Agora o valor numérico: usamos \alpha_1\approx2{,}71\\ \mathrm{Np/m},\\ \alpha_2\approx2{,}73\\ \mathrm{Np/m} e \beta_1\approx7{,}27\\ \mathrm{rad/m},\\ \beta_2\approx7{,}25\\ \mathrm{rad/m}. Então
\alpha_1\cdot4+\alpha_2\cdot2 \approx 2{,}71\cdot4 + 2{,}73\cdot2 \approx 16{,}286,
e
\beta_1\cdot4+\beta_2\cdot2 \approx 7{,}27\cdot4 + 7{,}25\cdot2 \approx 43{,}58\\ \mathrm{rad}.
Portanto o fator de atenuação é e^{-16{,}286}\approx 8{,}45\times10^{-8}. Multiplicando pela amplitude 100 A:
\boxed{\,I(6,t)\approx 8{,}45\times10^{-6}\,\sin\!\big(2\pi\cdot10^{8}t -43{,}58\big)\\ \mathrm{A}\,}
ou seja, cerca de 8{,}45\\ \mu\mathrm{A} de amplitude (note que a atenuação é muito forte por causa do termo G e do comprimento total percorrido).

Passo 10

Raciocínio:
  • A porção refletida na descontinuidade (em z=4) tem fasor
\tilde V_{\text{ref}}(4^-)=\Gamma\;\tilde V_{\text{inc}}(4)=\Gamma\;\tilde V_{\text{inc}}(0)\;e^{-\gamma_1\cdot 4}.
  • Essa onda refletida viaja para a esquerda (sentido -z) desde z=4 até z=-2, distância 6\\ \mathrm{m}; ao chegar a z=-2 seu fasor vale
\tilde V_{\text{ref}}(-2)=\Gamma\;\tilde V_{\text{inc}}(0)\;e^{-\gamma_1\cdot 4}\;e^{-\gamma_1\cdot 6} =\Gamma\;\tilde V_{\text{inc}}(0)\;e^{-\gamma_1\cdot 10}.
  • No enunciado não foi indicada nenhuma outra fonte de reflexões à esquerda (por exemplo, terminação em z\to -\infty não foi dada), portanto a tensão TOTAL em z=-2 é, no cenário considerado, essencialmente a tensão da onda refletida que passou por 10 m (4 m ida + 6 m volta), assumindo que inicialmente não havia outra onda à esquerda. Assim a tensão total (no domínio do tempo) é a real da expressão fasorial:
\boxed{\;V(-2,t)=\Re\{\Gamma\; \tilde V_{\text{inc}}(0)\;e^{-\gamma_1\cdot 10}\;e^{j\omega t}\}\; }.
Substituindo valores numéricos: \lvert\Gamma\rvert\approx 3{,}0\times10^{-3}, \lvert\tilde V_{\text{inc}}(0)\rvert\approx 11730\\ \mathrm{V}, e \alpha_1\cdot 10\approx 2{,}71\cdot 10 \approx 27{,}1. Logo o fator e^{-\alpha_1\cdot 10}\approx e^{-27{,}1}\approx 1{,}6\times10^{-12}. Multiplicando:
\text{amplitude} \approx 11730\cdot 3{,}0\times10^{-3}\cdot 1{,}6\times10^{-12}\approx 5{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{V}.
A fase é dada por \arg(\Gamma)+\arg(\tilde V_{\text{inc}}(0)) - \beta_1\cdot 10. Como \tilde V_{\text{inc}}(0) foi tomado com fase zero, a fase fica \arg(\Gamma) - \beta_1\cdot 10.
Portanto a expressão temporal aproximada é
\boxed{\,V(-2,t)\approx 5{,}6\times10^{-11}\,\sin\!\big(2\pi\cdot10^{8}t +\varphi\big)\\ \mathrm{V}\,}
onde \varphi=\arg(\Gamma)-\beta_1\cdot 10 (numérico \varphi\approx -79^\circ - 72{,}7\\ \mathrm{rad}, mas o valor absoluto da tensão é insignificante — ordem 10^{-11}\\ \mathrm{V}).
Interpretando: o termo é praticamente zero na prática — a onda refletida torna a tensão em z=-2 desprezível por causa da atenuação enorme ao longo do percurso e do pequeno coeficiente de reflexão.

Resposta

(a) V(0,t)=\Re\{Z_{c1}\cdot 100\,e^{j\omega t}\}\approx 11730\sin(2\pi\cdot10^{8}t)\\ \mathrm{V}.
(b1) I(6,t)\approx 100\,e^{-(\alpha_1\cdot 4+\alpha_2\cdot 2)}\sin\!\big(2\pi\cdot10^{8}t-(\beta_1\cdot 4+\beta_2\cdot 2)\big)\approx 8{,}45\times10^{-6}\sin(2\pi\cdot10^{8}t-43{,}58)\\ \mathrm{A}.
(b2) V(-2,t)\approx \Re\{\Gamma\,\tilde V_{\text{inc}}(0)\,e^{-\gamma_1\cdot 10}e^{j\omega t}\}\approx 5{,}6\times10^{-11}\sin(2\pi\cdot10^{8}t+\varphi)\\ \mathrm{V} (valor efetivamente desprezível).

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