1.13 Os dois grupos de vetores
e
são chamados de recíprocos se
e qualquer outro produto escalar misturado como
. Mostre que:
Passo 1
Então, a gente tem dois grupos de vetores:
e
. Esses grupos são chamados de vetores recíprocos se eles obedecem a algumas regras de produto escalar. O que vamos precisar aqui é entender como o produto escalar e o produto vetorial funcionam para provar essas relações entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são recíprocos. Dizem que
e que qualquer produto misturado tipo
, e assim por diante. Isso quer dizer que cada vetor de um grupo tem um produto escalar igual a 1 com o correspondente do outro grupo e zero com os demais.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que:
onde
.
Passo 4
Vamos começar definindo
. O produto misto
é um valor escalar que mede o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
deve satisfazer as condições dos vetores recíprocos. Vamos assumir que
é proporcional ao produto vetorial
, ou seja:
Isso garante que
seja perpendicular a
e
, satisfazendo as condições de produto escalar zero com eles.
Passo 6
De forma similar, podemos definir
e
usando os produtos vetoriais
e
, respectivamente:
Isso assegura que cada vetor recíproco seja perpendicular aos outros dois vetores do primeiro grupo.
Passo 7
Finalmente, verificamos que com essas definições, os produtos escalares
,
e
realmente resultam em 1, já que:
E os produtos misturados serão zero devido à perpendicularidade dos vetores.
Resposta
Portanto, mostramos que:
onde
.