1.13 Os dois grupos de vetores a, b, c e a^prime, b^prime, c^prime são chamados de recíprocos se a cdot a^prime= b cdot b^prime=c cdot c^prime=1 e qualquer outro produto escalar misturado como a cdot b^prime=0. Mostre que:
c^prime=(a times b) / Q, a^prime=(b times c) / Q, b^prime=(c times a) / Q onde Q=a cdot(b times c)

Passo 1

Então, a gente tem dois grupos de vetores: a, b, c e a^prime, b^prime, c^prime. Esses grupos são chamados de vetores recíprocos se eles obedecem a algumas regras de produto escalar. O que vamos precisar aqui é entender como o produto escalar e o produto vetorial funcionam para provar essas relações entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são recíprocos. Dizem que a cdot a^prime = b cdot b^prime = c cdot c^prime = 1 e que qualquer produto misturado tipo a cdot b^prime = 0, e assim por diante. Isso quer dizer que cada vetor de um grupo tem um produto escalar igual a 1 com o correspondente do outro grupo e zero com os demais.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que:
c^prime = a times bQ, a^prime = b times cQ, b^prime = c times aQ
onde Q = a cdot (b times c).

Passo 4

Vamos começar definindo Q. O produto misto a cdot (b times c) é um valor escalar que mede o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b, c.

Passo 5

Agora, vamos calcular c^prime. Sabemos que c^prime deve satisfazer as condições dos vetores recíprocos. Vamos assumir que c^prime é proporcional ao produto vetorial a times b, ou seja:
c^prime = a times bQ
Isso garante que c^prime seja perpendicular a a e b, satisfazendo as condições de produto escalar zero com eles.

Passo 6

De forma similar, podemos definir a^prime e b^prime usando os produtos vetoriais b times c e c times a, respectivamente:
a^prime = b times cQ, b^prime = c times aQ
Isso assegura que cada vetor recíproco seja perpendicular aos outros dois vetores do primeiro grupo.

Passo 7

Finalmente, verificamos que com essas definições, os produtos escalares a cdot a^prime, b cdot b^prime e c cdot c^prime realmente resultam em 1, já que:
a cdot a^prime = a cdot (b times c)Q = QQ = 1
E os produtos misturados serão zero devido à perpendicularidade dos vetores.

Resposta

Portanto, mostramos que:
c^prime = a times bQ, a^prime = b times cQ, b^prime = c times aQ
onde Q = a cdot (b times c).

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