Um canhão tem seu alcance máximo dado por Rmax =R, e isso ocorre quando o ângulo de disparo é igual a 45^circ. Nesta situação: a) Calcule a altura máxima alcançada e escreva esta altura em uma função exclusiva de R. b) Calcule o tempo total de vôo e escreva este tempo em uma função exclusiva de R e de g. (Valor: 6 ptos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um canhão que atinge seu alcance máximo Rmax = R quando é disparado com um ângulo de 45^circ. Para resolver os itens a) e b), vamos usar conceitos de movimento de projéteis, especificamente as fórmulas para altura máxima e tempo total de voo.

Passo 2

Vamos começar calculando a altura máxima alcançada pelo projétil. A fórmula para a altura máxima ( H) em um movimento de projéteis é:
H = v0^2 sin^2 theta2g
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial do projétil.
  • theta é o ângulo de disparo.
  • g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Sabemos que o alcance máximo ( R) ocorre quando o ângulo de disparo é 45^circ. A fórmula para o alcance ( R) é:
R = v0^2 sin 2thetag
Para theta = 45^circ, sin 2theta = sin 90^circ = 1. Então, a fórmula simplifica para:
R = v0^2g

Passo 4

A partir da equação do alcance, podemos isolar v0^2:
v0^2 = Rg

Passo 5

Agora, substituímos v0^2 na fórmula da altura máxima:
H = Rg sin^2 45^circ2g
Sabemos que sin 45^circ = raiz22, então sin^2 45^circ = 12.

Passo 6

Substituindo sin^2 45^circ na equação:
H = Rg cdot 122g = R4

Passo 7

Agora, vamos calcular o tempo total de voo ( T). A fórmula para o tempo de voo em movimento de projéteis é:
T = 2v0 sin thetag

Passo 8

Substituindo theta = 45^circ e v0 = raizRg:
T = 2raizRg cdot raiz22g = raiz2Rraizg = raiz2Rg

Resposta

a) A altura máxima alcançada é H = dfracR4.
b) O tempo total de voo é T = raizdfrac2Rg.

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