3.11 Que quantia você deveria pagar anualmente, em 8 pagamentos iguais com início daqui a 2 anos, para reembolsar um empréstimo de \ 20.000 que tomou de um parente hoje, se a taxa de juros é deé8 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a quantia anual (mesmo valor todos os anos) que você deve pagar em 8 pagamentos iguais, com o primeiro pagamento acontecendo daqui a 2 anos, para reembolsar um empréstimo de \$20.000 tomado hoje. A taxa de juros é de 8\% ao ano.
Informações relevantes dadas:
  • Valor do empréstimo hoje (valor presente): \$20.000.
  • Taxa de juros anual: i = 8\% = 0,08.
  • Número de pagamentos iguais: 8.
  • Primeiro pagamento ocorre daqui a 2 anos, portanto os pagamentos ocorrem nos instantes t=2,3,\dots,9.
  • Queremos achar o valor do pagamento anual (vou chamar de R).

Passo 2

Vamos escrever a condição que garante que o valor presente dos pagamentos futuros seja igual a \$20.000. Cada pagamento R no instante t=k tem valor presente hoje igual a R/(1+i)^k. Assim:
\text{PV} = \sum_{k=2}^{9} \frac{R}{(1+i)^k}
onde \text{PV}=20000 e i=0,08.
Para simplificar a soma, defino v=\dfrac{1}{1+i} (fator de desconto por um período). Então a soma fica
\text{PV} = R\left(v^2+v^3+\cdots+v^9\right).
Note que essa soma é uma progressão geométrica. A soma dos primeiros n termos de uma PG com razão v é
1+v+v^2+\cdots+v^{n-1}=\frac{1-v^n}{1-v}.
Aqui temos os termos v^2 até v^9, ou seja v^2(1+v+\cdots+v^7). Portanto:
\text{PV} = R\,v^2\left(\frac{1-v^8}{1-v}\right).
Agora simplificamos 1-v. Como v=\dfrac{1}{1+i}, temos 1-v=1-\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{i}{1+i}. Substituindo:
\text{PV} = R\,v^2\left(\frac{1-v^8}{i/(1+i)}\right)=R\,\frac{v^2(1+i)(1-v^8)}{i}.
Usando v^2(1+i)=v (pois v=\dfrac{1}{1+i}), obtemos a forma mais simples:
\text{PV}=R\cdot\frac{v(1-v^8)}{i}.
Essa fórmula faz sentido: é o valor presente hoje de 8 pagamentos iguais começando em t=2.

Passo 3

Isolamos R para obter o valor do pagamento anual:
R=\text{PV}\cdot\frac{i}{v(1-v^8)}.
Nesta expressão:
  • \text{PV}=20000,
  • i=0,08,
  • v=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1,08}.

Passo 4

Agora calculamos os números passo a passo (vou arredondar apenas no final):
Calcule v:
v=\frac{1}{1,08}=0,925925926.
Calcule v^8. Uma forma prática é calcular 1,08^8 e inverter:
1,08^2=1,1664,\quad 1,08^3=1,259712,\quad 1,08^4=1,36048896,
1,08^5=1,469328877,\quad 1,08^6=1,586874987,\quad 1,08^7=1,713004987,
1,08^8=1,850965386.
Portanto
v^8=\frac{1}{1,08^8}\approx\frac{1}{1,850965386}=0,540268.
Calcule 1-v^8:
1-v^8 \approx 1-0,540268=0,459732.
Calcule v(1-v^8):
v(1-v^8)\approx 0,925925926\times 0,459732\approx 0,425676.
Calcule o numerador \text{PV}\cdot i:
20000\times 0,08 = 1600.
Finalmente:
R=\frac{1600}{0,425676}\approx 3758,77.
Arredondando para centavos, a quantia anual a pagar é aproximadamente \$3.758,77.

Passo 5

Interpretação rápida: pagando \$3.758,77 nos anos 2,3,\dots,9 (8 pagamentos iguais), descontados à taxa de 8\% ao ano, o valor presente desses pagamentos é \$20.000, ou seja, isso reembolsa o empréstimo tomado hoje. Força aí — você chega lá na prova!

Resposta

\$3.758,77

Exercícios relacionados