3.11 Que quantia você deveria pagar anualmente, em 8 pagamentos iguais com início daqui a 2 anos, para reembolsar um empréstimo de
20.000
8 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a quantia anual (mesmo valor todos os anos) que você deve pagar em 8 pagamentos iguais, com o primeiro pagamento acontecendo daqui a 2 anos, para reembolsar um empréstimo de
tomado hoje. A taxa de juros é de
ao ano.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Valor do empréstimo hoje (valor presente):
. - Taxa de juros anual:
. - Número de pagamentos iguais:
. - Primeiro pagamento ocorre daqui a 2 anos, portanto os pagamentos ocorrem nos instantes
. - Queremos achar o valor do pagamento anual (vou chamar de
).
Passo 2
Vamos escrever a condição que garante que o valor presente dos pagamentos futuros seja igual a
. Cada pagamento
no instante
tem valor presente hoje igual a
. Assim:
onde
e
.
Para simplificar a soma, defino
(fator de desconto por um período). Então a soma fica
Note que essa soma é uma progressão geométrica. A soma dos primeiros
termos de uma PG com razão
é
Aqui temos os termos
até
, ou seja
. Portanto:
Agora simplificamos
. Como
, temos
. Substituindo:
Usando
(pois
), obtemos a forma mais simples:
Essa fórmula faz sentido: é o valor presente hoje de 8 pagamentos iguais começando em
.
Passo 3
Isolamos
para obter o valor do pagamento anual:
Nesta expressão:
-
, -
, -
.
Passo 4
Agora calculamos os números passo a passo (vou arredondar apenas no final):
Calcule
:
Calcule
. Uma forma prática é calcular
e inverter:
Portanto
Calcule
:
Calcule
:
Calcule o numerador
:
Finalmente:
Arredondando para centavos, a quantia anual a pagar é aproximadamente
.
Passo 5
Interpretação rápida: pagando
nos anos
(8 pagamentos iguais), descontados à taxa de
ao ano, o valor presente desses pagamentos é
, ou seja, isso reembolsa o empréstimo tomado hoje. Força aí — você chega lá na prova!