Um engenheiro industrial planeja aposentar-se precocemente daqui a 25 anos. Ele acredita que pode poupar confortavelmente
10.000
8 %$ ao ano?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumão para não se perder):
- Depósitos anuais de
cada um. - Esses depósitos são feitos “a cada ano, a partir de agora” e continuam durante
anos. - Ele começará a sacar o dinheiro
ano após o último depósito — o enunciado diz explicitamente que esse saque inicial ocorrerá no ano . - Os saques serão anuais e ocorrerão durante
anos (ou seja, saques, o primeiro no ano , o último no ano ). - A taxa de juros efetiva é de
ao ano, ou seja .
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor uniforme anual
que ele poderá sacar durante anos, começando no ano .
Observação importante (sem resolver ainda): para usar as fórmulas padrão precisamos escolher a convenção de quando os depósitos são feitos (início ou fim do período). O enunciado afirma que o primeiro saque será no ano
, isto implica que o montante acumulado imediatamente antes do primeiro saque (no ano
terminando o período de acumulação) é o que financiará a renda de
anos. Para casar isso com as fórmulas usuais, vamos assumir a interpretação consistente com as datas dadas: os depósitos de
são feitos no final de cada ano durante
anos (ou seja, nos instantes ano
), e o primeiro saque ocorre um ano depois, no ano
. Essa é a interpretação que faz o problema “fechar” com o comentário do enunciado “ou seja, no ano 26”.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação clara):
- Acumulação de uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada ano): se alguém faz pagamentos
no final de cada ano por anos, a soma acumulada (valor futuro) imediatamente após o último pagamento é
onde:
-
é o pagamento periódico (aqui ), -
é a taxa de juros por período (aqui ), -
é o número de pagamentos (aqui ).
Explicação rápida do porquê: cada pagamento cresce com juros até o final do período de acumulação; a soma dessas contribuições dá a fórmula acima (é a soma geométrica dos fatores). -
Valor presente (ou valor “no início do período de retirada”) de uma anuidade ordinária de retiradas: se alguém recebe
no final de cada ano por anos, o valor presente (no instante imediatamente antes do primeiro saque) dessa série é
onde
é o número de saques (aqui
). Explicação: essa fórmula vem de somar cada
descontado pelos juros até o instante considerado; novamente é uma soma geométrica.
Estratégia: calcular
— o montante acumulado depois dos
depósitos — e igualar esse montante ao valor presente, no mesmo instante (imediatamente antes do primeiro saque), da anuidade de
saques de valor
. Assim teremos
e isolamos
.
Passo 3
Calcular o montante acumulado ao final do período de depósitos (
):
- Usando
, , ,
- Precisamos de
. Calculando passo a passo (multiplicando por vigésima cinco vezes) ou usando logaritmos, obtemos
- Então
- Arredondando razoavelmente, o montante acumulado é
Passo 4
Expressar o valor presente (no instante imediatamente antes do primeiro saque, que é o mesmo instante onde avaliamos
) da anuidade de
saques de valor
:
- Com
e ,
- Calculamos
primeiro (podemos usar já obtido e multiplicar por ):
logo
- Assim
Passo 5
Igualar o montante acumulado ao valor presente da anuidade de saques e resolver para
:
- Temos
- Isolando
:
Passo 6
Interpretação e arredondamento final:
- O valor obtido para
é aproximadamente por ano. - Ou seja: depositando
por ano durante anos a ao ano, ele acumula cerca de ; isso financia saques anuais de aproximadamente durante anos, começando no ano .
Força aí — dá pra fazer isso na prova seguindo os passos: (1) achar o valor acumulado dos depósitos; (2) escrever o valor presente da renda desejada; (3) igualar e resolver para a renda anual.