Um engenheiro industrial planeja aposentar-se precocemente daqui a 25 anos. Ele acredita que pode poupar confortavelmente \ 10.000 a cada ano, a partir de agora. Se ele planeja começar a sacar o dinheiro 1 ano depois de efetuar o último depósito (ou seja, no ano 26), qual valor uniforme poderia sacar anualmente durante 30 anos se a conta rende juros a uma taxa deçúó8 %$ ao ano?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumão para não se perder):
  • Depósitos anuais de \$10.000 cada um.
  • Esses depósitos são feitos “a cada ano, a partir de agora” e continuam durante 25 anos.
  • Ele começará a sacar o dinheiro 1 ano após o último depósito — o enunciado diz explicitamente que esse saque inicial ocorrerá no ano 26.
  • Os saques serão anuais e ocorrerão durante 30 anos (ou seja, 30 saques, o primeiro no ano 26, o último no ano 55).
  • A taxa de juros efetiva é de 8\% ao ano, ou seja i=0{,}08.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor uniforme anual A que ele poderá sacar durante 30 anos, começando no ano 26.
Observação importante (sem resolver ainda): para usar as fórmulas padrão precisamos escolher a convenção de quando os depósitos são feitos (início ou fim do período). O enunciado afirma que o primeiro saque será no ano 26, isto implica que o montante acumulado imediatamente antes do primeiro saque (no ano 25 terminando o período de acumulação) é o que financiará a renda de 30 anos. Para casar isso com as fórmulas usuais, vamos assumir a interpretação consistente com as datas dadas: os depósitos de \$10.000 são feitos no final de cada ano durante 25 anos (ou seja, nos instantes ano 1,2,\dots,25), e o primeiro saque ocorre um ano depois, no ano 26. Essa é a interpretação que faz o problema “fechar” com o comentário do enunciado “ou seja, no ano 26”.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação clara):
  • Acumulação de uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada ano): se alguém faz pagamentos P no final de cada ano por n anos, a soma acumulada (valor futuro) imediatamente após o último pagamento é
S_n = P\frac{(1+i)^n - 1}{i},
onde:
  • P é o pagamento periódico (aqui \$10.000),
  • i é a taxa de juros por período (aqui 0{,}08),
  • n é o número de pagamentos (aqui 25).
    Explicação rápida do porquê: cada pagamento cresce com juros até o final do período de acumulação; a soma dessas contribuições dá a fórmula acima (é a soma geométrica dos fatores (1+i)^{k}).
  • Valor presente (ou valor “no início do período de retirada”) de uma anuidade ordinária de retiradas: se alguém recebe A no final de cada ano por m anos, o valor presente (no instante imediatamente antes do primeiro saque) dessa série é
PV = A\frac{1 - (1+i)^{-m}}{i},
onde m é o número de saques (aqui 30). Explicação: essa fórmula vem de somar cada A descontado pelos juros até o instante considerado; novamente é uma soma geométrica.
Estratégia: calcular S_{25} — o montante acumulado depois dos 25 depósitos — e igualar esse montante ao valor presente, no mesmo instante (imediatamente antes do primeiro saque), da anuidade de 30 saques de valor A. Assim teremos
S_{25} = A\frac{1 - (1+i)^{-30}}{i},
e isolamos A.

Passo 3

Calcular o montante acumulado ao final do período de depósitos ( S_{25}):
  • Usando P=\$10.000, i=0{,}08, n=25,
S_{25} = 10000\cdot\frac{(1{+}0{,}08)^{25}-1}{0{,}08}.
  • Precisamos de (1{+}0{,}08)^{25}. Calculando passo a passo (multiplicando por 1{,}08 vigésima cinco vezes) ou usando logaritmos, obtemos
(1{+}0{,}08)^{25} \approx 6{,}848475196219318.
  • Então
S_{25} = 10000\cdot\frac{6{,}848475196219318 - 1}{0{,}08} =10000\cdot\frac{5{,}848475196219318}{0{,}08} =10000\cdot 73{,}10593995274148 \approx 731059{,}3995274148.
  • Arredondando razoavelmente, o montante acumulado é
S_{25}\approx \$731\,059{,}40.

Passo 4

Expressar o valor presente (no instante imediatamente antes do primeiro saque, que é o mesmo instante onde avaliamos S_{25}) da anuidade de 30 saques de valor A:
  • Com i=0{,}08 e m=30,
PV_{25} = A\cdot\frac{1-(1{+}i)^{-30}}{i} = A\cdot\frac{1-(1{+}0{,}08)^{-30}}{0{,}08}.
  • Calculamos (1{+}0{,}08)^{30} primeiro (podemos usar (1{+}0{,}08)^{25} já obtido e multiplicar por (1{+}0{,}08)^5):
(1{+}0{,}08)^{30} \approx 10{,}062656889073434,
logo
(1{+}0{,}08)^{-30} \approx \frac{1}{10{,}062656889073434}\approx 0{,}099376258233.
  • Assim
\frac{1-(1{+}0{,}08)^{-30}}{0{,}08} \approx \frac{1-0{,}099376258233}{0{,}08} = \frac{0{,}900623741767}{0{,}08} \approx 11{,}257796772089.

Passo 5

Igualar o montante acumulado ao valor presente da anuidade de saques e resolver para A:
  • Temos
S_{25} = PV_{25} \quad\Rightarrow\quad 731059{,}3995274148 = A\cdot 11{,}257796772089.
  • Isolando A:
A = \frac{731059{,}3995274148}{11{,}257796772089} \approx 64\,938{,}944.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final:
  • O valor obtido para A é aproximadamente \$64.938{,}94 por ano.
  • Ou seja: depositando \$10.000 por ano durante 25 anos a 8\% ao ano, ele acumula cerca de \$731{,}059{,}40; isso financia saques anuais de aproximadamente \$64.938{,}94 durante 30 anos, começando no ano 26.
Força aí — dá pra fazer isso na prova seguindo os passos: (1) achar o valor acumulado dos depósitos; (2) escrever o valor presente da renda desejada; (3) igualar e resolver para a renda anual.

Resposta

\$64.938{,}94

Exercícios relacionados