Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável de 20 cm de diâmetro sai de um forno a uma temperatura uniforme de 600^{\circ} \mathrm{C}. O eixo é deixado para resfriar lentamente em um ambiente a 200^{\circ} \mathrm{C}, com h =80 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Determine a temperatura no centro do eixo 45 minutos após o início do resfriamento.
Table 1: Exercício 2, Condução Transiente em Sólidos: Geometria Cilíndrica
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Dado Valor
Material Eixo cilíndrico longo de aço inoxidável
k 14,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}
\rho 7900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
cp 477 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}
Diâmetro 20 cm
Temperatura inicial 600^{\circ} \mathrm{C}
Temperatura ambiente 200^{\circ} \mathrm{C}
h 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}
Tempo 45 min

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (lista clara):
  • Pergunta: determinar a temperatura no centro do eixo cilíndrico 45 minutos após o início do resfriamento.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro =0,20\\ \mathrm{m} → raio r_{0}=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial T_{i}=600^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura do ambiente T_{\infty}=200^{\circ}\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção h=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
    • Condutividade térmica k=14,9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • Densidade \rho=7900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
    • Calor específico c_{p}=477\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
    • Tempo t=45\\ \mathrm{min}=2700\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Decidir o método e calcular quantidades básicas (explicar o porquê):
  • Primeiro checar se o método “capacitor térmico (lumped capacitance)” é aplicável usando o número de Biot com comprimento característico L_{c}=V/A. Para um cilindro longo por unidade de comprimento V/A=r_{0}/2. Então
\mathrm{Bi}_{Lc}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{h r_{0}}{2k}.
  • Calcular L_{c} e \mathrm{Bi}_{Lc}:
L_{c}=\frac{r_{0}}{2}=0,05\\ \mathrm{m}, \qquad \mathrm{Bi}_{Lc}=\frac{80\cdot0,05}{14,9}\approx0,269.
  • Regra prática: se \mathrm{Bi}_{Lc}\le0,1 pode usar lumped; aqui \mathrm{Bi}_{Lc}\approx0,27>0,1, portanto o cilindro não pode ser tratado como corpo lumped — há gradientes radiais importantes.
  • Então usamos a solução de condução transiente para um cilindro longo com convecção na superfície (separação de variáveis). Para isso precisamos da difusividade térmica:
\alpha=\frac{k}{\rho c_{p}}=\frac{14,9}{7900\cdot477}.
  • Calcular \alpha:
\rho c_{p}=7900\cdot477=3\,768\,300\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{K}, \qquad \alpha=\frac{14,9}{3\,768\,300}\approx3{,}955\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 3

Apresentar a solução teórica (ideia e equações principais) de forma didática:
  • Para um cilindro infinito (ou muito longo) com condição de convecção na superfície, a solução por separação de variáveis dá uma série de modos próprios. No centro ( r=0) a temperatura adimensional \theta é
\theta(0,t)=\frac{T(0,t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}} =\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,\exp\!\big(-\zeta_{n}^{2}\,\tau\big),
onde
\tau=\frac{\alpha t}{r_{0}^{2}}
é o número de Fourier adimensional, e os \zeta_{n} são as raízes positivas da equação dos autovalores, obtida da condição de contorno convectiva:
\zeta\,J_{1}(\zeta)=\mathrm{Bi}\,J_{0}(\zeta),
com
\mathrm{Bi}=\frac{h r_{0}}{k}.
  • As funções J_{0} e J_{1} são funções de Bessel de primeira espécie (não se assuste: são análogas a cosseno/seno em coordenadas cilíndricas). Na prática, para muitos problemas basta a aproximação pelo primeiro modo (n=1), chamada de “aproximação de um termo”, desde que se use corretamente o coeficiente A_{1}. Isso costuma ser bastante preciso quando o tempo adimensional \tau não é extremamente pequeno.
  • As expressões para os coeficientes A_{n} vêm da ortogonalidade dos modos. Para o numerador e denominador das integrais aparece a identidade útil
\int_{0}^{1} r J_{0}(\zeta_{n} r)\,dr=\frac{J_{1}(\zeta_{n})}{\zeta_{n}}
e
\int_{0}^{1} r J_{0}^{2}(\zeta_{n} r)\,dr=\tfrac{1}{2}\big(J_{0}^{2}(\zeta_{n})+J_{1}^{2}(\zeta_{n})\big).
A partir disso obtém-se (passo importante — mostrarei como usei essas integrais):
A_{1}=\frac{2\,J_{1}(\zeta_{1})}{\zeta_{1}\big(J_{0}^{2}(\zeta_{1})+J_{1}^{2}(\zeta_{1})\big)}.
  • Logo, na aproximação de um termo:
\theta(0,t)\approx A_{1}\,\exp\!\big(-\zeta_{1}^{2}\tau\big), \qquad T(0,t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\,\theta(0,t).

Passo 4

Calcular \mathrm{Bi} (para a equação de autovalores) e o número adimensional de Fourier \tau:
  • Bi para a equação de autovalores usa r_{0} diretamente:
\mathrm{Bi}=\frac{h r_{0}}{k}=\frac{80\cdot0,10}{14,9}\approx0,537.
  • Número de Fourier:
\tau=\frac{\alpha t}{r_{0}^{2}}=\frac{3{,}955\times10^{-6}\cdot2700}{(0,10)^{2}} =\frac{3{,}955\times10^{-6}\cdot2700}{0{,}01}\approx1{,}068.

Passo 5

Determinar a primeira raiz \zeta_{1} da equação \zeta J_{1}(\zeta)=\mathrm{Bi}\,J_{0}(\zeta) (procedimento numérico explicado):
  • Queremos \zeta tal que
f(\zeta)=\zeta J_{1}(\zeta)-\mathrm{Bi}\,J_{0}(\zeta)=0, \qquad \mathrm{Bi}\approx0{,}537.
  • Método prático (rápido e suficiente aqui): usar uma expansão em pequena \zeta para um chute inicial e depois refinar com avaliação direta das funções de Bessel por séries.
    • Para \zeta pequeno, J_{0}(\zeta)\approx1-\zeta^{2}/4+\zeta^{4}/64 e J_{1}(\zeta)\approx\zeta/2-\zeta^{3}/16+\zeta^{5}/384. Com isso obtém-se um chute inicial \zeta\approx0{,}92.
    • Refinando avaliando J_{0} e J_{1} nas aproximações em série e ajustando \zeta até f(\zeta)\approx0, encontra-se
\zeta_{1}\approx0{,}971.
(ou seja, a primeira raiz positiva da equação de autovalores é \zeta_{1}\approx0{,}971; desse modo a solução de um termo será baseada nessa raiz).

Passo 6

Avaliar J_{0}(\zeta_{1}) e J_{1}(\zeta_{1}) por séries (mostrar como foram obtidos os números):
  • Usando as séries truncadas para as funções de Bessel em \zeta_{1}=0{,}971:
J_{0}(0{,}971)\approx1-\frac{(0{,}971)^{2}}{4}+\frac{(0{,}971)^{4}}{64}\approx0{,}779,
J_{1}(0{,}971)\approx\frac{0{,}971}{2}-\frac{(0{,}971)^{3}}{16}+\frac{(0{,}971)^{5}}{384}\approx0{,}430.
  • Guardando mais casas: J_{0}(\zeta_{1})\approx0{,}779 e J_{1}(\zeta_{1})\approx0{,}430.

Passo 7

Calcular o coeficiente A_{1} e a contribuição do primeiro modo:
  • Usando a fórmula deduzida para A_{1},
A_{1}=\frac{2\,J_{1}(\zeta_{1})}{\zeta_{1}\big(J_{0}^{2}(\zeta_{1})+J_{1}^{2}(\zeta_{1})\big)}.
  • Substituindo os valores numéricos:
J_{0}^{2}+J_{1}^{2}\approx(0{,}779)^{2}+(0{,}430)^{2}\approx0{,}791,
A_{1}\approx\frac{2\cdot0{,}430}{0{,}971\cdot0{,}791}\approx1{,}120.
  • Agora a fração adimensional de temperatura no centro:
\theta(0,t)\approx A_{1}\exp\!\big(-\zeta_{1}^{2}\tau\big).
Calcular o argumento do exponencial:
\zeta_{1}^{2}\tau\approx(0{,}971)^{2}\cdot1{,}068\approx0{,}942\cdot1{,}068\approx1{,}006,
\exp(-\zeta_{1}^{2}\tau)\approx e^{-1{,}006}\approx0{,}365.
Logo
\theta(0,t)\approx1{,}120\cdot0{,}365\approx0{,}409.

Passo 8

Obter a temperatura absoluta no centro e interpretar o resultado (passo a passo aritmético):
  • Lembrando que \theta=(T-T_{\infty})/(T_{i}-T_{\infty}), temos
T(0,t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\theta(0,t).
  • Substituindo números:
T(0,2700\\ \mathrm{s})\approx200^{\circ}\mathrm{C}+(600^{\circ}\mathrm{C}-200^{\circ}\mathrm{C})\cdot0{,}409.
T(0,2700\\ \mathrm{s})\approx200+400\cdot0{,}409\approx200+163{,}6\approx363{,}6^{\circ}\mathrm{C}.
  • Arredondando de forma apropriada para duas casas significativas nos dados, obtemos aproximadamente 364^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

T(0,45\\ \text{min})\approx364^{\circ}\mathrm{C}

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