Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável de 20 cm de diâmetro sai de um forno a uma temperatura uniforme de
. O eixo é deixado para resfriar lentamente em um ambiente a
, com h
. Determine a temperatura no centro do eixo 45 minutos após o início do resfriamento.
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Dado
Valor
Material
Eixo cilíndrico longo de aço inoxidável
k
cp
Diâmetro
20 cm
Temperatura inicial
Temperatura ambiente
h
Tempo
45 min
Table 1: Exercício 2, Condução Transiente em Sólidos: Geometria Cilíndrica
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| Dado | Valor |
| Material | Eixo cilíndrico longo de aço inoxidável |
| k |
|
|
|
|
| cp |
|
| Diâmetro | 20 cm |
| Temperatura inicial |
|
| Temperatura ambiente |
|
| h |
|
| Tempo | 45 min |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (lista clara):
- Pergunta: determinar a temperatura no centro do eixo cilíndrico 45 minutos após o início do resfriamento.
- Dados fornecidos:
- Diâmetro
→ raio . - Temperatura inicial
. - Temperatura do ambiente
. - Coeficiente de convecção
. - Condutividade térmica
. - Densidade
. - Calor específico
. - Tempo
.
- Diâmetro
Passo 2
Decidir o método e calcular quantidades básicas (explicar o porquê):
- Primeiro checar se o método “capacitor térmico (lumped capacitance)” é aplicável usando o número de Biot com comprimento característico
. Para um cilindro longo por unidade de comprimento . Então
- Calcular
e :
- Regra prática: se
pode usar lumped; aqui , portanto o cilindro não pode ser tratado como corpo lumped — há gradientes radiais importantes. - Então usamos a solução de condução transiente para um cilindro longo com convecção na superfície (separação de variáveis). Para isso precisamos da difusividade térmica:
- Calcular
:
Passo 3
Apresentar a solução teórica (ideia e equações principais) de forma didática:
- Para um cilindro infinito (ou muito longo) com condição de convecção na superfície, a solução por separação de variáveis dá uma série de modos próprios. No centro (
) a temperatura adimensional é
onde
é o número de Fourier adimensional, e os
são as raízes positivas da equação dos autovalores, obtida da condição de contorno convectiva:
com
- As funções
e são funções de Bessel de primeira espécie (não se assuste: são análogas a cosseno/seno em coordenadas cilíndricas). Na prática, para muitos problemas basta a aproximação pelo primeiro modo (n=1), chamada de “aproximação de um termo”, desde que se use corretamente o coeficiente . Isso costuma ser bastante preciso quando o tempo adimensional não é extremamente pequeno. - As expressões para os coeficientes
vêm da ortogonalidade dos modos. Para o numerador e denominador das integrais aparece a identidade útil
e
A partir disso obtém-se (passo importante — mostrarei como usei essas integrais):
- Logo, na aproximação de um termo:
Passo 4
Calcular
(para a equação de autovalores) e o número adimensional de Fourier
:
- Bi para a equação de autovalores usa
diretamente:
- Número de Fourier:
Passo 5
Determinar a primeira raiz
da equação
(procedimento numérico explicado):
- Queremos
tal que
- Método prático (rápido e suficiente aqui): usar uma expansão em pequena
para um chute inicial e depois refinar com avaliação direta das funções de Bessel por séries. - Para
pequeno, e . Com isso obtém-se um chute inicial . - Refinando avaliando
e nas aproximações em série e ajustando até , encontra-se
- Para
(ou seja, a primeira raiz positiva da equação de autovalores é
; desse modo a solução de um termo será baseada nessa raiz).
Passo 6
Avaliar
e
por séries (mostrar como foram obtidos os números):
- Usando as séries truncadas para as funções de Bessel em
:
- Guardando mais casas:
e .
Passo 7
Calcular o coeficiente
e a contribuição do primeiro modo:
- Usando a fórmula deduzida para
,
- Substituindo os valores numéricos:
- Agora a fração adimensional de temperatura no centro:
Calcular o argumento do exponencial:
Logo
Passo 8
Obter a temperatura absoluta no centro e interpretar o resultado (passo a passo aritmético):
- Lembrando que
, temos
- Substituindo números:
- Arredondando de forma apropriada para duas casas significativas nos dados, obtemos aproximadamente
.