13^{a} ) Escreva a Equação de Maxwell que representa a indução de um campo elétrico em um condutor quando este encontra-se posicionado em um campo magnético variável.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a equação de Maxwell que descreve a indução de um campo elétrico quando um condutor está imerso em um campo magnético variável no tempo. Este é o conteúdo de eletromagnetismo, mais precisamente a lei de indução de Faraday, também chamada de equação de Maxwell–Faraday.

Passo 2

A forma integral da lei de indução de Faraday relaciona a força eletromotriz (lintegral de linha de \mathbf{E}) à variação temporal do fluxo magnético \Phi_{B}. Em notação vetorial, temos:
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}
onde \partial S é o contorno do laço e S é a superfície por ele delimitada.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Stokes à integral de linha, transformamos o lado esquerdo em uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{E}. Assim,
\int_{S}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Como isso vale para qualquer superfície S, igualamos os integrandos.

Passo 4

Da igualdade dos integrandos segue a forma diferencial da lei de Faraday, que é a equação de Maxwell–Faraday:
\nabla\times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Resposta

A equação de Maxwell que representa a indução de um campo elétrico por um campo magnético variável é
\nabla\times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

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