8^{a} ) Na magnetostática, a divergência do campo magnético \vec{B} é zero, isto é, \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0. Explique as implicações físicas desse resultado e compare com o resultado equivalente para o campo elétrico \vec{E}.

Passo 1

O enunciado afirma que, em magnetostática,
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0
e pede para explicarmos as implicações físicas dessa igualdade, além de compará-la com o resultado análogo para o campo elétrico \vec{E}. O conteúdo é a segunda lei de Maxwell no caso estático (e a lei de Gauss para o campo elétrico), e vamos precisar interpretar a divergência de um campo vetorial em termos de fontes e sumidouros.

Passo 2

Interpretamos o operador divergente \vec{\nabla}\cdot como medida da densidade de “fontes” locais de um campo. Para qualquer volume pequeno V, o teorema da divergência diz
\int_{V}(\vec{\nabla}\cdot\vec{B})\,dV = \oint_{\partial V}\vec{B}\cdot d\vec{A}.
Se \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 em todo ponto, o fluxo líquido de \vec{B} através de qualquer superfície fechada é zero.

Passo 3

Do ponto de vista físico, \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 implica que não existem “cargas magnéticas” isoladas (monopólos magnéticos). Em vez de começar ou terminar em pontos, as linhas de campo magnético são fechadas em si mesmas ou vão ao infinito sem criar fluxo líquido em torno de nenhuma região.

Passo 4

Para o campo elétrico, a lei de Gauss em eletrostática é
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}},
onde \rho é a densidade de carga elétrica. Aqui há fontes ( \rho>0) e sumidouros ( \rho<0) de \vec{E}: o fluxo de \vec{E} através de uma superfície fechada mede a carga elétrica contida no volume interno.

Passo 5

Comparando os dois casos, concluímos que:
  • \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 reflete a inexistência de monopólos magnéticos e as linhas de \vec{B} são sempre fechadas.
  • \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0} demonstra que cargas elétricas são verdadeiras fontes e sumidouros do campo \vec{E}.

Resposta

A igualdade \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 significa que não há monopólos magnéticos e que as linhas de \vec{B} formam circuitos fechados, sem origem nem fim em pontos isolados. Em contraste, a lei de Gauss para \vec{E}, \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0}, mostra que cargas elétricas atuam como fontes ( \rho>0) ou sumidouros ( \rho<0) do campo elétrico.

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